Номер 840, страница 213 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 6 - номер 840, страница 213.

Условие.

840 Точка $A$ лежит внутри угла, равного $60^\circ$. Расстояния от точки $A$ до сторон угла равны $a$ и $b$. Найдите расстояние от точки $A$ до вершины угла.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 10.

Пусть вершина угла будет в точке $O$, а его стороны — лучи $OX$ и $OY$, так что $\angle XOY = 60^\circ$. Пусть $A$ — точка внутри этого угла.

Расстояние от точки до прямой измеряется по перпендикуляру. Опустим перпендикуляры из точки $A$ на стороны угла. Пусть $P$ — основание перпендикуляра на луч $OX$, а $Q$ — основание перпендикуляра на луч $OY$.

По условию, расстояния от точки $A$ до сторон угла равны $a$ и $b$. Таким образом, мы имеем $AP = a$ и $AQ = b$. Также, по построению, $\angle OPA = 90^\circ$ и $\angle OQA = 90^\circ$.

Рассмотрим четырехугольник $OPAQ$. Сумма его углов $\angle OPA$ и $\angle OQA$ равна $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Это свойство означает, что четырехугольник $OPAQ$ можно вписать в окружность. Причем, поскольку прямые углы $\angle OPA$ и $\angle OQA$ опираются на отрезок $OA$, этот отрезок является диаметром данной окружности. Расстояние, которое нам нужно найти, — это длина отрезка $OA$.

Сумма углов в любом четырехугольнике равна $360^\circ$. Для четырехугольника $OPAQ$ имеем: $\angle POQ + \angle OQA + \angle QAP + \angle APO = 360^\circ$ Подставим известные значения углов: $60^\circ + 90^\circ + \angle QAP + 90^\circ = 360^\circ$ Отсюда находим угол $\angle QAP$: $\angle QAP = 360^\circ - 240^\circ = 120^\circ$

Теперь рассмотрим треугольник $APQ$. Мы знаем длины двух его сторон ($AP = a$, $AQ = b$) и угол между ними ($\angle QAP = 120^\circ$). Применим теорему косинусов для нахождения длины стороны $PQ$: $PQ^2 = AP^2 + AQ^2 - 2 \cdot AP \cdot AQ \cdot \cos(\angle QAP)$ $PQ^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(120^\circ)$ Поскольку $\cos(120^\circ) = -1/2$, получаем: $PQ^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot (-1/2) = a^2 + b^2 + ab$ Следовательно, $PQ = \sqrt{a^2 + b^2 + ab}$.

Точки $O, P, Q$ лежат на окружности с диаметром $OA$. Треугольник $OPQ$ вписан в эту окружность. По следствию из теоремы синусов, отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности. Для треугольника $OPQ$: $\frac{PQ}{\sin(\angle POQ)} = OA$ Подставим известные значения $PQ$ и $\angle POQ = 60^\circ$: $OA = \frac{\sqrt{a^2 + b^2 + ab}}{\sin(60^\circ)}$ Так как $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем: $OA = \frac{\sqrt{a^2 + b^2 + ab}}{\sqrt{3}/2} = \frac{2}{\sqrt{3}}\sqrt{a^2 + b^2 + ab}$

Избавившись от иррациональности в знаменателе, получим окончательный вид ответа: $OA = \frac{2\sqrt{3}}{3}\sqrt{a^2 + b^2 + ab}$

Ответ: $\frac{2\sqrt{3}}{3}\sqrt{a^2 + b^2 + ab}$