Номер 867, страница 216 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 7 - номер 867, страница 216.

Условие.

867 В треугольнике $ABC$ прямая, проходящая через вершину $A$ и делящая медиану $BM$ в отношении $1:2$, считая от вершины, пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Найдите отношение площадей треугольников $ABK$ и $ABC$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 10.

Пусть O — точка пересечения прямой, проходящей через вершину A, с медианой BM. По условию задачи, эта прямая делит медиану BM в отношении 1:2, считая от вершины B. Таким образом, мы имеем соотношение $BO : OM = 1:2$. Прямая AK пересекает сторону BC в точке K.

Нам нужно найти отношение площадей треугольников $S_{ABK}$ и $S_{ABC}$. Эти два треугольника имеют общую высоту, проведенную из вершины A к прямой BC. Отношение площадей треугольников с общей высотой равно отношению их оснований. Следовательно: $$ \frac{S_{ABK}}{S_{ABC}} = \frac{BK}{BC} $$ Задача сводится к нахождению отношения длины отрезка BK к длине стороны BC. Для этого мы можем применить теорему Менелая.

Рассмотрим треугольник MBC и секущую AK (которая проходит через точки A, O, K). Эта секущая пересекает сторону BC в точке K, сторону BM в точке O и продолжение стороны MC в точке A.

Согласно теореме Менелая, для треугольника MBC и секущей AOK выполняется следующее соотношение: $$ \frac{BK}{KC} \cdot \frac{CA}{AM} \cdot \frac{MO}{OB} = 1 $$

Определим значения отношений из условия задачи:
1. Так как BM — медиана, проведенная к стороне AC, точка M является серединой AC. Следовательно, $AM = MC$, а вся сторона $AC = AM + MC = 2AM$. Отсюда получаем отношение $\frac{CA}{AM} = \frac{2AM}{AM} = 2$.
2. По условию, точка O делит медиану BM в отношении $BO : OM = 1:2$. Отсюда получаем отношение $\frac{MO}{OB} = \frac{2}{1} = 2$.

Теперь подставим найденные значения в формулу теоремы Менелая: $$ \frac{BK}{KC} \cdot 2 \cdot 2 = 1 $$ $$ \frac{BK}{KC} \cdot 4 = 1 $$ $$ \frac{BK}{KC} = \frac{1}{4} $$ Из этого соотношения следует, что $KC = 4 \cdot BK$.

Теперь мы можем выразить длину стороны BC через BK: $$ BC = BK + KC = BK + 4 \cdot BK = 5 \cdot BK $$ Отсюда находим искомое отношение оснований: $$ \frac{BK}{BC} = \frac{BK}{5 \cdot BK} = \frac{1}{5} $$

Наконец, возвращаемся к отношению площадей: $$ \frac{S_{ABK}}{S_{ABC}} = \frac{BK}{BC} = \frac{1}{5} $$

Ответ: Отношение площадей треугольников ABK и ABC равно $1:5$.