Номер 876, страница 216 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 7 - номер 876, страница 216.

Условие.

876 Постройте ромб, площадь которого равна площади квадрата, если известно, что отношение диагоналей этого ромба равно отношению данных отрезков.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 10.

Пусть дан квадрат со стороной $a$ и два отрезка длиной $m$ и $n$. Площадь квадрата равна $S_{кв} = a^2$.

Обозначим диагонали искомого ромба через $d_1$ и $d_2$. Площадь ромба вычисляется по формуле $S_{ромба} = \frac{1}{2} d_1 d_2$.

Согласно условию задачи, площади ромба и квадрата равны, следовательно:

$\frac{1}{2} d_1 d_2 = a^2 \implies d_1 d_2 = 2a^2$

Также известно отношение диагоналей:

$\frac{d_1}{d_2} = \frac{m}{n}$

Из второго уравнения выразим $d_1 = d_2 \frac{m}{n}$ и подставим в первое:

$(d_2 \frac{m}{n}) \cdot d_2 = 2a^2 \implies d_2^2 = 2a^2 \frac{n}{m} \implies d_2 = a \sqrt{\frac{2n}{m}}$

Соответственно, для $d_1$ получаем:

$d_1 = a \sqrt{\frac{2m}{n}}$

Таким образом, задача сводится к построению двух отрезков $d_1$ и $d_2$, длины которых определяются приведенными формулами. Это можно сделать с помощью циркуля и линейки, используя построение четвертого пропорционального отрезка и среднего геометрического.

Построение выполняется в следующем порядке:

1. Построение вспомогательного отрезка $x = \frac{na}{m}$ (четвертый пропорциональный).

   Строим произвольный угол с вершиной в точке $O$. На одном луче угла откладываем отрезки $OM = m$ и $OA = a$. На другом луче откладываем отрезок $ON = n$. Соединяем точки $M$ и $N$. Через точку $A$ проводим прямую, параллельную отрезку $MN$. Точка пересечения этой прямой со вторым лучом, назовем ее $X$, отсекает на нем отрезок $OX$. Из подобия треугольников $\triangle OMN$ и $\triangle OAX$ следует, что $\frac{OM}{OA} = \frac{ON}{OX}$, или $\frac{m}{a} = \frac{n}{OX}$, откуда $OX = \frac{na}{m}$. Длина отрезка $OX$ равна $x$.

2. Построение диагонали $d_2 = a \sqrt{\frac{2n}{m}} = \sqrt{(2a) \cdot x}$ (среднее геометрическое).

   На прямой откладываем два отрезка подряд: $PQ$ длиной $2a$ и $QR$ длиной $x$ (построенной на предыдущем шаге). На отрезке $PR$ как на диаметре строим полуокружность. Из точки $Q$ восстанавливаем перпендикуляр к прямой $PR$ до его пересечения с полуокружностью в точке $S$. Длина отрезка $QS$ является средним геометрическим длин отрезков $PQ$ и $QR$, то есть $QS = \sqrt{2a \cdot x} = d_2$.

3. Построение диагонали $d_1$.

   Теперь, имея отрезки $m, n$ и $d_2$, мы можем построить $d_1$ из пропорции $\frac{d_1}{m} = \frac{d_2}{n}$ (снова построение четвертого пропорционального). Строим угол с вершиной $O'$. На одном луче откладываем $ON' = n$ и $OM' = m$. На другом луче откладываем $OD_2 = d_2$. Соединяем $N'$ и $D_2$. Проводим через $M'$ прямую, параллельную $N'D_2$. Точка ее пересечения со вторым лучом, $D_1$, отсекает отрезок $OD_1 = d_1$.

4. Построение искомого ромба.

   Имея две диагонали $d_1$ и $d_2$, строим ромб. Проводим прямую и откладываем на ней отрезок $AC$, равный $d_1$. Строим серединный перпендикуляр к отрезку $AC$. Пусть $O$ — середина $AC$. На серединном перпендикуляре в обе стороны от точки $O$ откладываем отрезки $OB = OD = \frac{d_2}{2}$. Соединяем последовательно точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Четырехугольник $ABCD$ — искомый ромб.

Доказательство. Построенный четырехугольник $ABCD$ является ромбом, так как его диагонали $AC = d_1$ и $BD = d_2$ взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Отношение диагоналей по построению равно $\frac{d_1}{d_2} = \frac{m}{n}$. Площадь ромба $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} (a \sqrt{\frac{2m}{n}}) (a \sqrt{\frac{2n}{m}}) = \frac{1}{2} a^2 \sqrt{4} = a^2$, что равно площади данного квадрата. Таким образом, построенный ромб удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ:

Для построения ромба необходимо выполнить следующую последовательность действий:

1. Аналитически определить длины диагоналей ромба ($d_1$, $d_2$) через сторону квадрата ($a$) и длины данных отрезков ($m$, $n$): $d_1 = a\sqrt{\frac{2m}{n}}$ и $d_2 = a\sqrt{\frac{2n}{m}}$.

2. Построить отрезок $x = \frac{na}{m}$ как четвертый пропорциональный к отрезкам $m, n, a$.

3. Построить диагональ $d_2 = \sqrt{2a \cdot x}$ как среднее геометрическое отрезков $2a$ и $x$.

4. Построить диагональ $d_1$ как четвертый пропорциональный к отрезкам $n, m, d_2$.

5. Построить ромб по двум найденным диагоналям $d_1$ и $d_2$, расположив их на взаимно перпендикулярных прямых так, чтобы они делили друг друга пополам.