Номер 882, страница 217 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 8 - номер 882, страница 217.

Условие.

882. Через точку $A$ пересечения двух окружностей с центрами в точках $O_1$ и $O_2$ проведена прямая, пересекающая одну окружность в точке $B$, а другую — в точке $C$. Докажите, что отрезок $BC$ будет наибольшим тогда, когда он параллелен прямой $O_1O_2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 10.

Пусть даны две окружности с центрами в точках $O_1$ и $O_2$. Пусть $A$ — одна из точек их пересечения. Через точку $A$ проведена прямая, которая пересекает первую окружность (с центром $O_1$) в точке $B$, а вторую (с центром $O_2$) — в точке $C$.

Чтобы найти условия, при которых длина отрезка $BC$ будет максимальной, спроецируем центры окружностей $O_1$ и $O_2$ на прямую, содержащую отрезок $BC$. Обозначим точки проекций как $P_1$ и $P_2$ соответственно. По определению проекции, отрезки $O_1P_1$ и $O_2P_2$ перпендикулярны прямой $BC$.

В окружности с центром $O_1$ отрезок $AB$ является хордой. По свойству хорды, перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит её пополам. Так как $O_1P_1 \perp AB$, точка $P_1$ является серединой хорды $AB$. Отсюда следует, что длина хорды $AB$ равна удвоенной длине отрезка $AP_1$, то есть $AB = 2 \cdot AP_1$.

Аналогично, в окружности с центром $O_2$ отрезок $AC$ является хордой, а $P_2$ — её серединой. Следовательно, $AC = 2 \cdot AP_2$.

Длина отрезка $BC$ зависит от взаимного расположения точек $A$, $B$ и $C$.

• Если точка $A$ лежит между $B$ и $C$, то $BC = AB + AC$.
• Если точка $B$ или $C$ лежит между двумя другими, то $BC = |AC - AB|$.

В обоих случаях длина $BC$ может быть выражена через расстояние между проекциями $P_1P_2$. Длина отрезка $BC$ равна $2 \cdot P_1P_2$. Это можно увидеть, рассмотрев координаты точек на прямой $BC$: если принять $A$ за начало отсчета, то координаты $B$ и $C$ будут $b$ и $c$. Координаты середин $P_1$ и $P_2$ будут $b/2$ и $c/2$. Тогда $BC = |c-b|$, а $P_1P_2 = |c/2 - b/2| = |c-b|/2$. Таким образом, $BC = 2 \cdot P_1P_2$.

Отрезок $P_1P_2$ является проекцией отрезка $O_1O_2$ на прямую $BC$. Длина проекции отрезка на прямую равна произведению длины самого отрезка на модуль косинуса угла между ними. Пусть $\alpha$ — это угол между прямой $BC$ и прямой $O_1O_2$. Тогда $P_1P_2 = O_1O_2 \cdot |\cos(\alpha)|$.

Подставив это выражение в формулу для длины $BC$, получаем: $BC = 2 \cdot P_1P_2 = 2 \cdot O_1O_2 \cdot |\cos(\alpha)|$.

Расстояние между центрами окружностей $O_1O_2$ — это постоянная величина для данной пары окружностей. Следовательно, длина отрезка $BC$ зависит только от угла $\alpha$. Чтобы величина $BC$ была максимальной, необходимо, чтобы множитель $|\cos(\alpha)|$ принимал свое максимальное значение.

Максимальное значение $|\cos(\alpha)|$ равно 1. Это достигается, когда угол $\alpha = 0^\circ$ или $\alpha = 180^\circ$. В обоих случаях это означает, что прямая $BC$ параллельна прямой $O_1O_2$.

Таким образом, доказано, что отрезок $BC$ будет наибольшим тогда, когда он параллелен прямой $O_1O_2$.

Ответ: Длина отрезка $BC$ выражается формулой $BC = 2 \cdot O_1O_2 \cdot |\cos(\alpha)|$, где $\alpha$ — угол между прямой $BC$ и прямой $O_1O_2$. Эта величина достигает своего максимума, когда $|\cos(\alpha)| = 1$, то есть когда прямая $BC$ параллельна прямой $O_1O_2$.