Номер 881, страница 217 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 8 - номер 881, страница 217.

Условие.

881 Докажите, что для всех хорд $AB$ данной окружности величина $\frac{AB^2}{AD}$, где $AD$ — расстояние от точки $A$ до касательной в точке $B$, имеет одно и то же значение.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 10.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Пусть $AB$ — произвольная хорда этой окружности. Проведем касательную к окружности в точке $B$. Обозначим эту касательную как прямую $l$.

По условию, $AD$ — это расстояние от точки $A$ до касательной $l$. Это означает, что $D$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на прямую $l$. Таким образом, треугольник $\triangle ADB$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $D$ ($\angle ADB = 90^\circ$).

В прямоугольном треугольнике $\triangle ADB$ угол $\angle ABD$ — это угол между хордой $AB$ и касательной $l$. Из определения синуса в прямоугольном треугольнике имеем:
$\sin(\angle ABD) = \frac{AD}{AB}$
Отсюда можно выразить $AD$:
$AD = AB \cdot \sin(\angle ABD)$

Теперь подставим это выражение для $AD$ в заданную величину:
$\frac{AB^2}{AD} = \frac{AB^2}{AB \cdot \sin(\angle ABD)} = \frac{AB}{\sin(\angle ABD)}$

Согласно теореме об угле между касательной и хордой, угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания ($\angle ABD$), равен вписанному углу, опирающемуся на дугу, отсекаемую хордой ($\buildrel \smile \over {AB}$).

Для дальнейшего доказательства проведем из точки $A$ диаметр $AC$. Точка $C$ лежит на окружности. Рассмотрим $\triangle ABC$. Так как $AC$ — диаметр, то вписанный угол $\angle ABC$, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$. Следовательно, $\triangle ABC$ — прямоугольный.

Вписанный угол, опирающийся на дугу $AB$, — это угол $\angle ACB$. По упомянутой выше теореме:
$\angle ABD = \angle ACB$

В прямоугольном треугольнике $\triangle ABC$ (с гипотенузой $AC = 2R$) найдем синус угла $\angle ACB$:
$\sin(\angle ACB) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AB}{AC} = \frac{AB}{2R}$

Теперь мы можем завершить преобразование исходного выражения:
$\frac{AB^2}{AD} = \frac{AB}{\sin(\angle ABD)} = \frac{AB}{\sin(\angle ACB)} = \frac{AB}{\frac{AB}{2R}} = AB \cdot \frac{2R}{AB} = 2R$

Таким образом, мы показали, что величина $\frac{AB^2}{AD}$ равна диаметру окружности ($2R$). Так как для данной окружности ее диаметр является постоянной величиной, то и значение данного выражения постоянно для любой хорды $AB$.

Ответ: Значение выражения равно диаметру окружности ($2R$), который является постоянной величиной для данной окружности.