Номер 883, страница 217 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 8 - номер 883, страница 217.

Условие.

883. Отрезок $AB$ является диаметром окружности с центром $O$. На каждом радиусе $OM$ окружности отложен от центра $O$ отрезок, равный расстоянию от конца $M$ этого радиуса до прямой $AB$. Найдите множество концов построенных таким образом отрезков.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 10.

Введем систему координат. Пусть центр окружности $O$ совпадает с началом координат $(0, 0)$, а диаметр $AB$ лежит на оси абсцисс (оси $Ox$). Тогда уравнение прямой $AB$ — это $y=0$. Пусть радиус исходной окружности равен $R$.

Рассмотрим произвольный радиус $OM$. Пусть точка $M$ находится на окружности. Ее координаты можно выразить через угол $\alpha$, который радиус $OM$ составляет с положительным направлением оси $Ox$. Координаты точки $M$ будут $(R\cos\alpha, R\sin\alpha)$.

Расстояние от точки $M(x_M, y_M)$ до прямой $AB$ (оси $Ox$) равно модулю ее ординаты: $d = |y_M| = |R\sin\alpha|$.

По условию задачи, на радиусе $OM$ откладывается отрезок $OP$, длина которого равна этому расстоянию $d$. То есть, $OP = |R\sin\alpha|$.

Найдем уравнение множества (геометрического места) точек $P$. Точка $P$ лежит на луче $OM$, поэтому ее полярный угол совпадает с полярным углом точки $M$, то есть равен $\alpha$. Расстояние от начала координат до точки $P$ (ее полярный радиус $\rho$) равно $OP$.

Таким образом, искомое множество точек задается в полярной системе координат уравнением: $\rho = R|\sin\alpha|$

Проанализируем это уравнение, перейдя к декартовым координатам. Вспомним, что $\rho = \sqrt{x^2 + y^2}$ и $y = \rho\sin\alpha$.

Рассмотрим два случая:

1) Для верхней полуплоскости ($y \ge 0$), угол $\alpha$ находится в диапазоне от $0$ до $\pi$. В этом случае $\sin\alpha \ge 0$, и уравнение принимает вид $\rho = R\sin\alpha$. Умножим обе части на $\rho$: $\rho^2 = R\rho\sin\alpha$. Подставляя декартовы выражения, получаем: $x^2 + y^2 = Ry$. Преобразуем это уравнение, выделив полный квадрат: $x^2 + y^2 - Ry = 0$ $x^2 + (y^2 - Ry + \frac{R^2}{4}) - \frac{R^2}{4} = 0$ $x^2 + (y - \frac{R}{2})^2 = (\frac{R}{2})^2$ Это уравнение окружности с центром в точке $(0, \frac{R}{2})$ и радиусом $\frac{R}{2}$. Эта окружность касается оси $Ox$ (прямой $AB$) в точке $(0, 0)$ (точке $O$).

2) Для нижней полуплоскости ($y < 0$), угол $\alpha$ находится в диапазоне от $\pi$ до $2\pi$. В этом случае $\sin\alpha < 0$, и уравнение принимает вид $\rho = -R\sin\alpha$. Умножим обе части на $\rho$: $\rho^2 = -R\rho\sin\alpha$. Подставляя декартовы выражения, получаем: $x^2 + y^2 = -Ry$. Преобразуем это уравнение: $x^2 + y^2 + Ry = 0$ $x^2 + (y^2 + Ry + \frac{R^2}{4}) - \frac{R^2}{4} = 0$ $x^2 + (y + \frac{R}{2})^2 = (\frac{R}{2})^2$ Это уравнение окружности с центром в точке $(0, -\frac{R}{2})$ и радиусом $\frac{R}{2}$. Эта окружность также касается оси $Ox$ (прямой $AB$) в точке $(0, 0)$ (точке $O$).

Таким образом, искомое множество точек представляет собой объединение двух окружностей.

Ответ: Искомое множество точек — это две окружности, которые касаются друг друга в центре исходной окружности $O$ и касаются диаметра $AB$ в этой же точке. Радиус каждой из этих двух окружностей равен половине радиуса исходной окружности, а их центры лежат на радиусах исходной окружности, перпендикулярных диаметру $AB$.