Номер 887, страница 218 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 8 - номер 887, страница 218.

Условие.

887 Отрезок BD – биссектриса треугольника ABC. Докажите, что $BD^2 = AB \cdot BC - AD \cdot DC$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 10.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом, основанным на свойствах вписанных углов и подобных треугольников.

1. Опишем окружность около треугольника $ABC$. Продлим биссектрису $BD$ до пересечения с этой окружностью в точке $E$.

2. Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle EBC$.
- $\angle ABD = \angle EBC$, так как $BD$ — биссектриса угла $\angle ABC$, а точка $E$ лежит на её продолжении.
- $\angle BAD = \angle BEC$, так как это вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу $BC$.
Следовательно, по признаку подобия по двум углам, $\triangle ABD \sim \triangle EBC$.

3. Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:
$\frac{AB}{EB} = \frac{BD}{BC}$
Применяя основное свойство пропорции (перекрестное умножение), получаем:
$AB \cdot BC = EB \cdot BD$

4. Поскольку точка $D$ лежит на отрезке $BE$, длину отрезка $EB$ можно представить в виде суммы $EB = BD + DE$. Подставим это в полученное на предыдущем шаге равенство:
$AB \cdot BC = (BD + DE) \cdot BD = BD^2 + BD \cdot DE$

5. Теперь воспользуемся теоремой о произведении отрезков пересекающихся хорд. Хорды $AC$ и $BE$ пересекаются в точке $D$. Согласно этой теореме:
$AD \cdot DC = BD \cdot DE$
(Эта теорема также легко доказывается через подобие. Рассмотрим $\triangle ADE$ и $\triangle BDC$. $\angle DAE = \angle CBE$ (опираются на дугу $EC$) и $\angle AED = \angle BCD$ (опираются на дугу $AB$). Значит, $\triangle ADE \sim \triangle BDC$, откуда следует $\frac{AD}{BD} = \frac{DE}{DC}$, то есть $AD \cdot DC = BD \cdot DE$.)

6. Наконец, подставим выражение $AD \cdot DC$ вместо $BD \cdot DE$ в равенство из шага 4:
$AB \cdot BC = BD^2 + AD \cdot DC$

7. Перенося слагаемое $AD \cdot DC$ в левую часть уравнения, получаем искомое тождество:
$BD^2 = AB \cdot BC - AD \cdot DC$
Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.