Номер 893, страница 218 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 8 - номер 893, страница 218.

Условие.

893 Докажите, что в любом четырёхугольнике, вписанном в окружность, произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон (теорема Птолемея).

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 10.

Доказательство

Пусть $ABCD$ — произвольный четырёхугольник, вписанный в окружность. Обозначим длины его сторон как $AB=a$, $BC=b$, $CD=c$ и $DA=d$. Диагонали обозначим как $AC=p$ и $BD=q$.

Необходимо доказать, что произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон, то есть $p \cdot q = a \cdot c + b \cdot d$ или $AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot DA$.

Для доказательства воспользуемся методом подобия треугольников. На диагонали $AC$ отметим такую точку $K$, что $\angle ABK = \angle CBD$.

1. Рассмотрим треугольники $\triangle ABK$ и $\triangle DBC$. Угол $\angle ABK = \angle CBD$ по нашему построению. Углы $\angle BAK$ (тот же самый, что и $\angle BAC$) и $\angle BDC$ — вписанные и опираются на одну и ту же дугу $BC$. Следовательно, $\angle BAC = \angle BDC$. Таким образом, $\triangle ABK \sim \triangle DBC$ по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон: $ \frac{AK}{DC} = \frac{AB}{DB} $ Отсюда получаем: $ AK \cdot DB = AB \cdot DC $ Или в наших обозначениях: $ AK \cdot q = a \cdot c $ (1).

2. Теперь рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle KBC$. Углы $\angle ADB$ и $\angle ACB$ (тот же, что и $\angle KCB$) — вписанные и опираются на одну и ту же дугу $AB$. Следовательно, $\angle ADB = \angle ACB$. Рассмотрим $\angle ABC = \angle ABK + \angle KBC$ и $\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC$. Поскольку по построению $\angle ABK = \angle DBC$, то и оставшиеся части равны: $\angle KBC = \angle ABD$. Таким образом, $\triangle KBC \sim \triangle ABD$ по двум углам.

Из этого подобия следует: $ \frac{KC}{AD} = \frac{BC}{BD} $ Отсюда получаем: $ KC \cdot BD = BC \cdot AD $ Или в наших обозначениях: $ KC \cdot q = b \cdot d $ (2).

3. Сложим полученные равенства (1) и (2): $ AK \cdot q + KC \cdot q = a \cdot c + b \cdot d $

Вынесем $q$ за скобки в левой части уравнения: $ q \cdot (AK + KC) = a \cdot c + b \cdot d $

Так как точка $K$ лежит на отрезке $AC$, то $AK + KC = AC = p$. Заменяя сумму в скобках на $p$, получаем: $ q \cdot p = a \cdot c + b \cdot d $ Что и требовалось доказать.

Ответ: Теорема доказана. В любом вписанном в окружность четырёхугольнике произведение длин диагоналей равно сумме произведений длин противоположных сторон: $AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot DA$.