Номер 894, страница 218 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 8 - номер 894, страница 218.

Условие.

894 Докажите, что в любом треугольнике радиус $R$ описанной окружности, радиус $r$ вписанной окружности и расстояние $d$ между центрами этих окружностей связаны равенством $d^2 = R^2 - 2Rr$ (формула Эйлера).

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 10.

Для доказательства формулы Эйлера рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Обозначим $O$ и $R$ как центр и радиус описанной окружности, $I$ и $r$ как центр и радиус вписанной окружности, а $d$ как расстояние между центрами $O$ и $I$, то есть $d = OI$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AOI$, где $A$ — одна из вершин треугольника $\triangle ABC$. Применим к нему теорему косинусов:$OI^2 = AO^2 + AI^2 - 2 \cdot AO \cdot AI \cdot \cos(\angle OAI)$Подставляя наши обозначения, получаем:$d^2 = R^2 + AI^2 - 2 R \cdot AI \cdot \cos(\angle OAI)$

Теперь нам нужно выразить длину отрезка $AI$ и косинус угла $\angle OAI$. Длину $AI$ найдем из прямоугольного треугольника, образованного вершиной $A$, центром вписанной окружности $I$ и точкой касания вписанной окружности со стороной $AB$. В этом треугольнике катет, противолежащий углу $\frac{A}{2}$, равен $r$, а $AI$ является гипотенузой. Таким образом:$\sin\left(\frac{A}{2}\right) = \frac{r}{AI}$, откуда $AI = \frac{r}{\sin(A/2)}$.

Угол $\angle OAI$ — это угол между биссектрисой $AI$ угла $A$ и радиусом описанной окружности $OA$. Он равен модулю разности углов $\angle OAC$ и $\angle IAC$. Угол $\angle IAC = \frac{A}{2}$, так как $AI$ — биссектриса. Чтобы найти угол $\angle OAC$, рассмотрим равнобедренный треугольник $\triangle OAC$ (поскольку $OA=OC=R$). Центральный угол $\angle AOC$ опирается на дугу $AC$, на которую также опирается вписанный угол $\angle ABC = B$. Следовательно, $\angle AOC = 2B$. Углы при основании равнобедренного треугольника $\triangle OAC$ равны: $\angle OAC = \angle OCA = \frac{180^\circ - 2B}{2} = 90^\circ - B$. Тогда $\angle OAI = |\angle OAC - \angle IAC| = |(90^\circ - B) - \frac{A}{2}|$. Используя то, что $A+B+C=180^\circ$, можем записать $90^\circ = \frac{A+B+C}{2}$.$\angle OAI = \left|\frac{A+B+C}{2} - B - \frac{A}{2}\right| = \left|\frac{C-B}{2}\right|$. Поскольку $\cos(-x) = \cos(x)$, имеем $\cos(\angle OAI) = \cos\left(\frac{B-C}{2}\right)$.

Подставим выражения для $AI$ и $\cos(\angle OAI)$ в уравнение теоремы косинусов:$d^2 = R^2 + \left(\frac{r}{\sin(A/2)}\right)^2 - 2R \frac{r}{\sin(A/2)} \cos\left(\frac{B-C}{2}\right)$Перенесем $R^2$ в левую часть и вынесем общий множитель в правой:$d^2 - R^2 = \frac{r}{\sin(A/2)} \left( \frac{r}{\sin(A/2)} - 2R \cos\left(\frac{B-C}{2}\right) \right)$

Для завершения доказательства нам понадобится известная формула, связывающая радиусы вписанной и описанной окружностей: $r = 4R\sin(A/2)\sin(B/2)\sin(C/2)$. Из этой формулы следует, что $\frac{r}{\sin(A/2)} = 4R\sin(B/2)\sin(C/2)$. Подставим это в наше уравнение:$d^2 - R^2 = \left(4R\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}\right) \left( 4R\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2} - 2R \cos\left(\frac{B-C}{2}\right) \right)$$d^2 - R^2 = 8R^2\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2} \left( 2\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2} - \cos\left(\frac{B-C}{2}\right) \right)$Используем формулу произведения синусов: $2\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2} = \cos\left(\frac{B-C}{2}\right) - \cos\left(\frac{B+C}{2}\right)$.$d^2 - R^2 = 8R^2\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2} \left( \cos\left(\frac{B-C}{2}\right) - \cos\left(\frac{B+C}{2}\right) - \cos\left(\frac{B-C}{2}\right) \right)$$d^2 - R^2 = 8R^2\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2} \left( -\cos\left(\frac{B+C}{2}\right) \right)$Так как $\frac{B+C}{2} = \frac{180^\circ - A}{2} = 90^\circ - \frac{A}{2}$, то $\cos\left(\frac{B+C}{2}\right) = \cos\left(90^\circ - \frac{A}{2}\right) = \sin\left(\frac{A}{2}\right)$.$d^2 - R^2 = -8R^2\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}$Разделим правую часть на $2R$:$d^2 - R^2 = -2R \cdot \left(4R\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}\right)$Поскольку выражение в скобках равно $r$, получаем:$d^2 - R^2 = -2Rr$И окончательно:$d^2 = R^2 - 2Rr$Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $d^2 = R^2 - 2Rr$ доказано.