Номер 901, страница 219 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 8 - номер 901, страница 219.

Условие.

901. Постройте треугольник, если дана описанная окружность и на ней точки $A$, $B$ и $M$, через которые проходят прямые, содержащие высоту, биссектрису и медиану треугольника, проведённые из одной вершины.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 10.

Пусть ω — данная описанная окружность с центром O. Пусть X, Y, Z — вершины искомого треугольника. Пусть высота, биссектриса и медиана проведены из вершины X. Обозначим прямые, содержащие высоту, биссектрису и медиану, как l_h, l_b и l_m соответственно. По условию, эти прямые пересекают окружность ω в точках A, B и M. Таким образом, A ∈ l_h, B ∈ l_b, M ∈ l_m.

Анализ

Для построения треугольника воспользуемся известными свойствами высоты, биссектрисы и медианы, связанными с описанной окружностью.

1. Свойство биссектрисы. Прямая, содержащая биссектрису угла треугольника, пересекает описанную окружность в точке, которая является серединой дуги, стягиваемой противоположной стороной. В нашем случае прямая XB (биссектриса) пересекает окружность в точке B, значит, B — середина дуги YZ, не содержащей точку X. Это равносильно тому, что радиус OB перпендикулярен стороне YZ. Таким образом, сторона YZ лежит на прямой, перпендикулярной радиусу OB.

2. Свойство высоты и биссектрисы. Прямая, содержащая биссектрису угла треугольника, делит пополам угол между высотой и радиусом описанной окружности, проведенными из той же вершины. То есть прямая XB является биссектрисой угла ∠AXO. Это означает, что дуги, заключенные между этими линиями, равны: дуга AB равна дуге B$X_O$, где $X_O$ — точка, диаметрально противоположная вершине X. Это свойство позволяет однозначно определить положение вершины X.

3. Свойство медианы. Прямая, содержащая медиану из вершины X, проходит через середину стороны YZ. Обозначим середину YZ как $M_e$. Точка $M_e$ лежит на прямой XM.

На основе этих свойств можно разработать план построения.

Построение

Выполним построение в следующем порядке:

I. Построение вершины X.
1. Находим центр O данной описанной окружности ω (например, как точку пересечения серединных перпендикуляров к двум произвольным хордам).
2. Проводим диаметр окружности через точку B.
3. Строим точку $X_O$, симметричную точке A относительно этого диаметра. Для этого проводим через точку A прямую, перпендикулярную диаметру, и находим вторую точку ее пересечения с окружностью ω. Это и будет точка $X_O$.
4. Строим вершину X как точку, диаметрально противоположную точке $X_O$. Для этого проводим прямую через $X_O$ и центр O до пересечения с окружностью.

II. Построение вершин Y и Z.
5. Проводим прямую через построенную вершину X и данную точку M. Эта прямая содержит медиану.
6. Проводим прямую через центр O и данную точку B.
7. Находим точку пересечения прямых XM и OB. Обозначим эту точку $M_e$. Это середина стороны YZ.
8. Через точку $M_e$ проводим прямую l, перпендикулярную прямой OB.
9. Точки пересечения прямой l с описанной окружностью ω являются вершинами Y и Z.

Треугольник XYZ — искомый.

Доказательство

Проверим, что построенный треугольник XYZ удовлетворяет условиям задачи.

1. Прямая XB содержит биссектрису. По построению, сторона YZ перпендикулярна радиусу OB. Следовательно, прямая OB является серединным перпендикуляром к хорде YZ и делит дугу YZ пополам в точке B. Так как B — середина дуги YZ, то вписанные углы, опирающиеся на дуги YB и ZB, равны: ∠YXB = ∠ZXB. Таким образом, XB — биссектриса угла ∠YXZ.

2. Прямая XA содержит высоту. По построению, точка $X_O$ симметрична точке A относительно диаметра, проходящего через B. Это означает, что хорда $AX_O$ перпендикулярна прямой OB ($AX_O$ ⊥ OB). Вершина X построена как диаметрально противоположная к $X_O$, поэтому $XX_O$ — диаметр. Угол ∠XAX_O, опирающийся на диаметр, является прямым, то есть XA ⊥ $AX_O$. Из того, что XA ⊥ $AX_O$ и $AX_O$ ⊥ OB, следует, что XA ∥ OB. Так как сторона YZ по построению перпендикулярна OB (YZ ⊥ OB), то из XA ∥ OB и YZ ⊥ OB следует, что XA ⊥ YZ. Следовательно, прямая XA содержит высоту треугольника, проведенную из вершины X.

3. Прямая XM содержит медиану. По построению, точка $M_e$ является пересечением прямых XM и OB. Также через $M_e$ проведена хорда YZ перпендикулярно радиусу OB. Радиус, перпендикулярный хорде, делит ее пополам. Следовательно, $M_e$ — середина стороны YZ. Так как $M_e$ лежит на прямой XM, то XM является медианой треугольника XYZ.

Все условия задачи выполнены. Построение корректно.

Ответ: Алгоритм построения треугольника описан и доказан выше.