Номер 897, страница 219 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 8 - номер 897, страница 219.

Условие.

897 Постройте общую касательную к двум данным окружностям.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 10.

Задача о построении общей касательной к двум окружностям имеет несколько решений в зависимости от взаимного расположения окружностей. Общие касательные бывают двух видов: внешние (когда обе окружности лежат по одну сторону от касательной) и внутренние (когда окружности лежат по разные стороны от касательной). Рассмотрим алгоритмы построения для обоих случаев с помощью циркуля и линейки.

Пусть даны две окружности: $C_1$ с центром в точке $O_1$ и радиусом $R_1$, и $C_2$ с центром в точке $O_2$ и радиусом $R_2$. Для определённости будем считать, что $R_1 \ge R_2$.

Построение внешних общих касательных

Этот метод применим, если расстояние между центрами $O_1O_2 \ge R_1 - R_2$, то есть когда одна окружность не находится полностью внутри другой (без касания).

Анализ:

Идея состоит в том, чтобы свести задачу к построению касательной из точки к некоторой вспомогательной окружности. Если мы проведём радиусы $O_1T_1$ и $O_2T_2$ в точки касания, то они будут перпендикулярны общей касательной $T_1T_2$, а значит, параллельны друг другу. Построив прямоугольную трапецию $O_1T_1T_2O_2$, и проведя через $O_2$ прямую, параллельную $T_1T_2$, мы получим прямоугольный треугольник, который поможет в построении. Это приводит к использованию вспомогательной окружности с центром в $O_1$ и радиусом $r = R_1 - R_2$.

Алгоритм построения:

1. Соединяем центры окружностей $O_1$ и $O_2$ отрезком.
2. Строим вспомогательную окружность с центром в точке $O_1$ и радиусом $r = R_1 - R_2$.
3. Строим касательную из точки $O_2$ к этой вспомогательной окружности. Для этого:
   • Находим середину $M$ отрезка $O_1O_2$.
   • Строим окружность с центром в $M$ и радиусом $MO_1$.
   • Точки пересечения этой окружности с вспомогательной окружностью (с радиусом $R_1 - R_2$) обозначим $P$ и $P'$. Если окружности касаются, будет одна точка.
4. Проводим луч из центра $O_1$ через точку $P$. Точка пересечения этого луча с исходной окружностью $C_1$ будет точкой касания $T_1$.
5. Строим в окружности $C_2$ радиус $O_2T_2$, параллельный и сонаправленный радиусу $O_1T_1$.
6. Проводим прямую через точки $T_1$ и $T_2$. Эта прямая и есть искомая общая внешняя касательная.
7. Если существует вторая точка $P'$, повторение шагов 4-6 для неё даст вторую общую внешнюю касательную.

Ответ: Построенная прямая $T_1T_2$ является общей внешней касательной к двум данным окружностям.

Построение внутренних общих касательных

Этот метод применим, если расстояние между центрами $O_1O_2 \ge R_1 + R_2$, то есть когда окружности не пересекаются и не лежат одна внутри другой.

Анализ:

Аналогично предыдущему случаю, задача сводится к построению касательной из точки $O_2$ к вспомогательной окружности. Однако в случае внутренней касательной радиусы $O_1T_1$ и $O_2T_2$ будут направлены в противоположные стороны относительно линии центров. Это приводит к использованию вспомогательной окружности с центром в $O_1$ и радиусом, равным сумме радиусов исходных окружностей $r = R_1 + R_2$.

Алгоритм построения:

1. Соединяем центры окружностей $O_1$ и $O_2$ отрезком.
2. Строим вспомогательную окружность с центром в точке $O_1$ и радиусом $r = R_1 + R_2$.
3. Строим касательную из точки $O_2$ к этой вспомогательной окружности. Для этого:
   • Находим середину $M$ отрезка $O_1O_2$.
   • Строим окружность с центром в $M$ и радиусом $MO_1$.
   • Точки пересечения этой окружности с вспомогательной окружностью (с радиусом $R_1 + R_2$) обозначим $P$ и $P'$.
4. Проводим отрезок $O_1P$. Точка пересечения этого отрезка с исходной окружностью $C_1$ будет точкой касания $T_1$.
5. Строим в окружности $C_2$ радиус $O_2T_2$, параллельный радиусу $O_1T_1$, но направленный в противоположную сторону.
6. Проводим прямую через точки $T_1$ и $T_2$. Эта прямая и есть искомая общая внутренняя касательная.
7. Если существует вторая точка $P'$, повторение шагов 4-6 для неё даст вторую общую внутреннюю касательную.

Ответ: Построенная прямая $T_1T_2$ является общей внутренней касательной к двум данным окружностям.