Номер 899, страница 219 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 8 - номер 899, страница 219.

Условие.

899 Внутри окружности дана точка. Постройте хорду, проходящую через эту точку, так, чтобы она была наименьшей из всех хорд, проходящих через эту точку.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 10.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$, а также точка $P$ внутри неё. Требуется построить хорду, проходящую через точку $P$ и имеющую наименьшую возможную длину.

Анализ

Рассмотрим произвольную хорду $AB$, проходящую через точку $P$. Длина любой хорды в окружности связана с её расстоянием от центра. Пусть $M$ — середина хорды $AB$. Тогда отрезок $OM$ перпендикулярен хорде $AB$, и его длина $d=OM$ является расстоянием от центра до хорды.

В прямоугольном треугольнике $OMA$ (где $OA$ — радиус $R$) по теореме Пифагора имеем: $OA^2 = OM^2 + AM^2$.

Так как $AM$ — это половина хорды $AB$, то $AM = \frac{AB}{2}$. Подставляя известные величины, получаем: $R^2 = d^2 + (\frac{AB}{2})^2$.

Выразим длину хорды $AB$:

$(\frac{AB}{2})^2 = R^2 - d^2$

$AB = 2\sqrt{R^2 - d^2}$

Из этой формулы видно, что длина хорды $AB$ зависит от расстояния $d$. Поскольку радиус $R$ является постоянной величиной, длина хорды $AB$ будет наименьшей, когда вычитаемое $d^2$ будет наибольшим. Следовательно, нам нужно найти хорду, которая находится на максимальном расстоянии от центра $O$.

Все хорды, проходящие через точку $P$, имеют разное расстояние до центра. Рассмотрим расстояние $OM$ от центра до хорды, проходящей через точку $P$. В треугольнике $OMP$ (если $M$ не совпадает с $P$), $OM$ является катетом, а $OP$ — гипотенузой, так как угол $OMP$ прямой. Следовательно, $OM \le OP$. Равенство достигается только тогда, когда точка $M$ совпадает с точкой $P$.

Максимальное возможное расстояние от центра $O$ до хорды, проходящей через точку $P$, равно длине отрезка $OP$. Это условие выполняется для хорды, которой отрезок $OP$ служит перпендикуляром. Такая хорда и будет наименьшей.

Построение

1. Соединить центр окружности $O$ с данной точкой $P$, построив отрезок $OP$.
2. Построить прямую, проходящую через точку $P$ и перпендикулярную отрезку $OP$.
3. Найти точки пересечения этой прямой с окружностью. Обозначим их $A$ и $B$.

Отрезок $AB$ является искомой хордой наименьшей длины.

Доказательство

Пусть $AB$ — построенная хорда, перпендикулярная $OP$ в точке $P$. Расстояние от центра $O$ до этой хорды равно $OP$. Её длина $L_{AB} = 2\sqrt{R^2 - OP^2}$.

Возьмём любую другую хорду $CD$, проходящую через точку $P$. Пусть $M$ — середина хорды $CD$. Тогда $OM \perp CD$. В прямоугольном треугольнике $OMP$ гипотенуза $OP$ больше катета $OM$, то есть $OM < OP$.

Длина хорды $CD$ равна $L_{CD} = 2\sqrt{R^2 - OM^2}$.

Так как $OM < OP$, то $OM^2 < OP^2$. Умножив на $-1$, получим $-OM^2 > -OP^2$. Прибавив $R^2$ к обеим частям неравенства, имеем: $R^2 - OM^2 > R^2 - OP^2$.

Поскольку обе части положительны, можно извлечь квадратный корень: $\sqrt{R^2 - OM^2} > \sqrt{R^2 - OP^2}$.

Следовательно, $L_{CD} > L_{AB}$.

Это доказывает, что любая другая хорда, проходящая через точку $P$, длиннее хорды $AB$. Таким образом, построенная хорда является наименьшей.

Ответ: Искомая хорда — это хорда, которая проходит через данную точку $P$ и перпендикулярна отрезку $OP$, соединяющему центр окружности $O$ с точкой $P$. Для её построения необходимо провести отрезок $OP$ и затем через точку $P$ построить к нему перпендикулярную прямую до пересечения с окружностью.