Номер 905, страница 220 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 9 - номер 905, страница 220.

Условие.

905 Даны четырёхугольник $ABCD$ и точка $O$. Точки $E, F, G$ и $H$ симметричны точке $O$ относительно середин сторон $AB, BC, CD$ и $DA$ соответственно. Что представляет собой четырёхугольник $EFGH$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 10.

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Введём на плоскости систему координат. Пусть радиус-векторы вершин четырёхугольника $ABCD$ и точки $O$ будут соответственно $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{d}$ и $\vec{o}$.

Обозначим середины сторон $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ как $M_1$, $M_2$, $M_3$ и $M_4$ соответственно. Их радиус-векторы выражаются через радиус-векторы вершин:

$\vec{m}_1 = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$
$\vec{m}_2 = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$
$\vec{m}_3 = \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2}$
$\vec{m}_4 = \frac{\vec{d} + \vec{a}}{2}$

По условию, точки $E, F, G, H$ симметричны точке $O$ относительно середин сторон $AB, BC, CD, DA$. Это означает, что $M_1$ является серединой отрезка $OE$, $M_2$ — серединой $OF$, и так далее. Выразим радиус-векторы точек $E, F, G, H$ (обозначим их $\vec{e}$, $\vec{f}$, $\vec{g}$, $\vec{h}$).

Для точки $E$, симметричной $O$ относительно $M_1$ (середины $AB$):
$\vec{m}_1 = \frac{\vec{o} + \vec{e}}{2}$
$2\vec{m}_1 = \vec{o} + \vec{e}$
$\vec{e} = 2\vec{m}_1 - \vec{o} = 2\frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} - \vec{o} = \vec{a} + \vec{b} - \vec{o}$

Аналогично находим радиус-векторы остальных точек:
$\vec{f} = 2\vec{m}_2 - \vec{o} = \vec{b} + \vec{c} - \vec{o}$
$\vec{g} = 2\vec{m}_3 - \vec{o} = \vec{c} + \vec{d} - \vec{o}$
$\vec{h} = 2\vec{m}_4 - \vec{o} = \vec{d} + \vec{a} - \vec{o}$

Теперь определим вид четырёхугольника $EFGH$. Для этого найдём векторы, соответствующие его противоположным сторонам, например, $\vec{EF}$ и $\vec{HG}$.

$\vec{EF} = \vec{f} - \vec{e} = (\vec{b} + \vec{c} - \vec{o}) - (\vec{a} + \vec{b} - \vec{o}) = \vec{b} + \vec{c} - \vec{o} - \vec{a} - \vec{b} + \vec{o} = \vec{c} - \vec{a}$.

$\vec{HG} = \vec{g} - \vec{h} = (\vec{c} + \vec{d} - \vec{o}) - (\vec{d} + \vec{a} - \vec{o}) = \vec{c} + \vec{d} - \vec{o} - \vec{d} - \vec{a} + \vec{o} = \vec{c} - \vec{a}$.

Поскольку $\vec{EF} = \vec{HG}$, векторы этих сторон равны. Это означает, что стороны $EF$ и $HG$ параллельны и равны по длине. По признаку параллелограмма, если две противоположные стороны четырёхугольника равны и параллельны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Ответ: Четырёхугольник $EFGH$ является параллелограммом.