Номер 910, страница 221 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 9 - номер 910, страница 221.

Условие.

910 Пусть $H$ — точка пересечения прямых, содержащих высоты неравностороннего треугольника $ABC$, а $O$ — центр описанной около этого треугольника окружности. Используя векторы, докажите, что точка $G$ пересечения медиан треугольника принадлежит отрезку $HO$ и делит этот отрезок в отношении $2:1$, считая от точки $H$, т. е. $\frac{HG}{GO} = 2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 10.

Для решения этой задачи воспользуемся векторным методом. Выберем в качестве начала отсчета (начала координат) центр описанной окружности $O$.

В этом случае радиус-векторы вершин треугольника $A$, $B$, $C$ будут $\vec{OA}$, $\vec{OB}$ и $\vec{OC}$ соответственно. Так как $O$ — центр описанной окружности, то длины этих векторов равны радиусу $R$ этой окружности: $|\vec{OA}| = |\vec{OB}| = |\vec{OC}| = R$.

1. Определение радиус-вектора точки G
Точка $G$ — точка пересечения медиан (центроид) треугольника. Её радиус-вектор $\vec{OG}$ выражается через радиус-векторы вершин по известной формуле: $$ \vec{OG} = \frac{1}{3}(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}) $$

2. Определение радиус-вектора точки H
Докажем, что радиус-вектор ортоцентра $H$ (точки пересечения высот) в выбранной системе координат равен сумме радиус-векторов вершин (формула Гамильтона): $$ \vec{OH} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} $$ Для доказательства этого утверждения достаточно показать, что вектор, соединяющий вершину $A$ с точкой $H$, перпендикулярен противоположной стороне $BC$. Выразим векторы $\vec{AH}$ и $\vec{BC}$ через радиус-векторы вершин: $$ \vec{AH} = \vec{OH} - \vec{OA} = (\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}) - \vec{OA} = \vec{OB} + \vec{OC} $$ $$ \vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB} $$ Теперь найдем их скалярное произведение: $$ \vec{AH} \cdot \vec{BC} = (\vec{OB} + \vec{OC}) \cdot (\vec{OC} - \vec{OB}) = |\vec{OC}|^2 - |\vec{OB}|^2 $$ Поскольку $|\vec{OB}| = |\vec{OC}| = R$, то: $$ \vec{AH} \cdot \vec{BC} = R^2 - R^2 = 0 $$ Скалярное произведение равно нулю, следовательно, векторы перпендикулярны: $\vec{AH} \perp \vec{BC}$. Это означает, что прямая $AH$ является высотой треугольника $ABC$. Аналогично доказывается, что $BH \perp AC$ и $CH \perp AB$. Таким образом, точка $H$, определяемая вектором $\vec{OH} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}$, действительно является ортоцентром треугольника.

3. Доказательство принадлежности точки G отрезку HO и нахождение отношения
Теперь сопоставим полученные выражения для векторов $\vec{OG}$ и $\vec{OH}$: $$ \vec{OG} = \frac{1}{3}(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}) $$ $$ \vec{OH} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} $$ Из этих двух равенств очевидно следует, что: $$ \vec{OH} = 3\vec{OG} $$ Это векторное равенство означает, что векторы $\vec{OH}$ и $\vec{OG}$ коллинеарны и сонаправлены. Следовательно, точки $O$, $G$ и $H$ лежат на одной прямой (прямой Эйлера), причем точка $G$ лежит на отрезке $OH$.

Теперь найдем отношение, в котором точка $G$ делит отрезок $HO$. Выразим вектор $\vec{HG}$ через $\vec{GO}$: $$ \vec{HG} = \vec{OG} - \vec{OH} = \vec{OG} - 3\vec{OG} = -2\vec{OG} $$ Вектор $\vec{GO}$ равен: $$ \vec{GO} = \vec{O} - \vec{OG} = -\vec{OG} $$ Подставим выражение для $-\vec{OG}$ в формулу для $\vec{HG}$: $$ \vec{HG} = 2(-\vec{OG}) = 2\vec{GO} $$ Из равенства $\vec{HG} = 2\vec{GO}$ следует, что векторы $\vec{HG}$ и $\vec{GO}$ сонаправлены, а длина вектора $\vec{HG}$ в два раза больше длины вектора $\vec{GO}$. Это означает, что точка $G$ лежит на отрезке $HO$ и делит его в отношении $HG:GO = 2:1$, считая от точки $H$.

Ответ: Используя векторный метод с началом координат в центре описанной окружности $O$, мы установили, что радиус-вектор центроида $G$ равен $\vec{OG} = \frac{1}{3}(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC})$, а радиус-вектор ортоцентра $H$ равен $\vec{OH} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}$. Отсюда следует, что $\vec{OH} = 3\vec{OG}$, что доказывает коллинеарность точек $O, G, H$. Далее, из соотношения $\vec{HG} = \vec{OG} - \vec{OH} = -2\vec{OG}$ и $\vec{GO} = -\vec{OG}$ получаем $\vec{HG} = 2\vec{GO}$. Это доказывает, что точка $G$ принадлежит отрезку $HO$ и делит его в отношении $\frac{HG}{GO} = 2$.