Номер 916, страница 227 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Параграф 1. Координаты вектора - номер 916, страница 227.

Условие.

916 Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны. Найдите числа $x$ и $y$, удовлетворяющие равенству:

а) $3\vec{a} - x\vec{b} = y\vec{a} + \vec{b}$;

б) $4\vec{a} - x\vec{a} + 5\vec{b} + y\vec{b} = 0$;

в) $x\vec{a} + 3\vec{b} - y\vec{b} = \vec{0}$;

г) $\vec{a} + \vec{b} - 3y\vec{a} + x\vec{b} = \vec{0}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Поскольку векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны, то равенство вида $m\vec{a} + n\vec{b} = \vec{0}$ возможно только в том случае, если коэффициенты $m$ и $n$ одновременно равны нулю, то есть $m=0$ и $n=0$. Мы будем использовать это свойство для решения каждого пункта.

а) $3\vec{a} - x\vec{b} = y\vec{a} + \vec{b}$
Перенесем все члены уравнения в одну сторону:
$3\vec{a} - y\vec{a} - x\vec{b} - \vec{b} = \vec{0}$
Сгруппируем члены с векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$:
$(3 - y)\vec{a} + (-x - 1)\vec{b} = \vec{0}$
Так как векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны, коэффициенты при них должны быть равны нулю:
$\begin{cases} 3 - y = 0 \\ -x - 1 = 0 \end{cases}$
Решая эту систему, получаем:
$y = 3$
$-x = 1 \implies x = -1$
Ответ: $x = -1, y = 3$.

б) $4\vec{a} - x\vec{a} + 5\vec{b} + y\vec{b} = \vec{0}$
Сгруппируем члены с векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$:
$(4 - x)\vec{a} + (5 + y)\vec{b} = \vec{0}$
Так как векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны, коэффициенты при них должны быть равны нулю:
$\begin{cases} 4 - x = 0 \\ 5 + y = 0 \end{cases}$
Решая эту систему, получаем:
$x = 4$
$y = -5$
Ответ: $x = 4, y = -5$.

в) $x\vec{a} + 3\vec{b} - y\vec{b} = \vec{0}$
Сгруппируем члены с векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$:
$x\vec{a} + (3 - y)\vec{b} = \vec{0}$
Так как векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны, коэффициенты при них должны быть равны нулю:
$\begin{cases} x = 0 \\ 3 - y = 0 \end{cases}$
Решая эту систему, получаем:
$x = 0$
$y = 3$
Ответ: $x = 0, y = 3$.

г) $\vec{a} + \vec{b} - 3y\vec{a} + x\vec{b} = \vec{0}$
Сгруппируем члены с векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$:
$(1 - 3y)\vec{a} + (1 + x)\vec{b} = \vec{0}$
Так как векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны, коэффициенты при них должны быть равны нулю:
$\begin{cases} 1 - 3y = 0 \\ 1 + x = 0 \end{cases}$
Решая эту систему, получаем:
$3y = 1 \implies y = \frac{1}{3}$
$x = -1$
Ответ: $x = -1, y = \frac{1}{3}$.