Номер 909, страница 221 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 9 - номер 909, страница 221.

Условие.

909 Биссектрисы внешних углов треугольника $ABC$ при вершинах $A, B$ и $C$ пересекают прямые $BC, CA$ и $AB$ соответственно в точках $A_1, B_1$ и $C_1$. Используя векторы, докажите, что точки $A_1, B_1$ и $C_1$ лежат на одной прямой.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 10.

Пусть $A, B, C$ — вершины треугольника. Обозначим длины сторон, противолежащих этим вершинам, как $a, b, c$ соответственно (т.е., $a = |BC|, b = |AC|, c = |AB|$). Пусть $O$ — произвольное начало координат, а $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ — радиус-векторы вершин $A, B, C$ соответственно.

Точки $A_1, B_1, C_1$ — это точки пересечения биссектрис внешних углов с продолжениями противолежащих сторон. Для нахождения радиус-векторов этих точек воспользуемся свойством биссектрисы внешнего угла треугольника.

1. Нахождение радиус-вектора точки $A_1$

Биссектриса внешнего угла при вершине $A$ пересекает прямую $BC$ в точке $A_1$. По свойству биссектрисы внешнего угла, отношение расстояний от точки $A_1$ до вершин $B$ и $C$ равно отношению длин прилежащих сторон $AB$ и $AC$: $$ \frac{A_1B}{A_1C} = \frac{AB}{AC} = \frac{c}{b} $$ Поскольку точка $A_1$ лежит на прямой $BC$, но вне отрезка $BC$, она делит отрезок $BC$ внешним образом. В векторной форме это означает, что радиус-вектор $\vec{a_1}$ точки $A_1$ выражается через радиус-векторы $\vec{b}$ и $\vec{c}$ следующим образом: $$ \vec{a_1} = \frac{b\vec{b} - c\vec{c}}{b-c} $$

2. Нахождение радиус-векторов точек $B_1$ и $C_1$

Аналогично, для биссектрисы внешнего угла при вершине $B$, пересекающей прямую $CA$ в точке $B_1$, имеем: $$ \frac{B_1C}{B_1A} = \frac{BC}{BA} = \frac{a}{c} $$ Радиус-вектор точки $B_1$: $$ \vec{b_1} = \frac{c\vec{c} - a\vec{a}}{c-a} $$ И для биссектрисы внешнего угла при вершине $C$, пересекающей прямую $AB$ в точке $C_1$: $$ \frac{C_1A}{C_1B} = \frac{CA}{CB} = \frac{b}{a} $$ Радиус-вектор точки $C_1$: $$ \vec{c_1} = \frac{a\vec{a} - b\vec{b}}{a-b} $$

3. Доказательство коллинеарности точек $A_1, B_1, C_1$

Для того чтобы доказать, что точки $A_1, B_1, C_1$ лежат на одной прямой, необходимо показать, что их радиус-векторы $\vec{a_1}, \vec{b_1}, \vec{c_1}$ связаны линейной зависимостью вида $\alpha\vec{a_1} + \beta\vec{b_1} + \gamma\vec{c_1} = \vec{0}$, где $\alpha + \beta + \gamma = 0$ и не все коэффициенты равны нулю.

Рассмотрим следующую линейную комбинацию векторов, выбрав коэффициенты так, чтобы избавиться от знаменателей: $$ (b-c)\vec{a_1} + (c-a)\vec{b_1} + (a-b)\vec{c_1} $$ Подставим выражения для $\vec{a_1}, \vec{b_1}, \vec{c_1}$: $$ (b-c)\left(\frac{b\vec{b} - c\vec{c}}{b-c}\right) + (c-a)\left(\frac{c\vec{c} - a\vec{a}}{c-a}\right) + (a-b)\left(\frac{a\vec{a} - b\vec{b}}{a-b}\right) $$ Сократив дроби, получим: $$ (b\vec{b} - c\vec{c}) + (c\vec{c} - a\vec{a}) + (a\vec{a} - b\vec{b}) $$ Сгруппируем слагаемые при одинаковых векторах: $$ (a-a)\vec{a} + (b-b)\vec{b} + (c-c)\vec{c} = 0\cdot\vec{a} + 0\cdot\vec{b} + 0\cdot\vec{c} = \vec{0} $$ Таким образом, мы получили равенство: $$ (b-c)\vec{a_1} + (c-a)\vec{b_1} + (a-b)\vec{c_1} = \vec{0} $$ Проверим сумму коэффициентов: $$ (b-c) + (c-a) + (a-b) = b-c+c-a+a-b = 0 $$ Поскольку мы нашли такие коэффициенты $\alpha = b-c$, $\beta = c-a$, $\gamma = a-b$ (которые не равны нулю, так как в невырожденном треугольнике $a \neq b \neq c$), что их сумма равна нулю и линейная комбинация радиус-векторов точек $A_1, B_1, C_1$ с этими коэффициентами равна нулевому вектору, то точки $A_1, B_1, C_1$ лежат на одной прямой.

Ответ: Векторное доказательство, основанное на свойстве биссектрисы внешнего угла и условии коллинеарности трех точек, показывает, что точки $A_1, B_1$ и $C_1$ лежат на одной прямой.