Номер 907, страница 221 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 9 - номер 907, страница 221.

Условие.

907 Докажите следующее утверждение: три точки A, B и C лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда существуют числа k, l и m, одновременно не равные нулю, такие, что $k+l+m=0$ и для произвольной точки O выполняется равенство $k\vec{OA} + l\vec{OB} + m\vec{OC} = \vec{0}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 10.

Данное утверждение является критерием, то есть содержит необходимое и достаточное условие. Для его доказательства нужно рассмотреть две части: необходимость (доказать, что из коллинеарности точек следует существование чисел) и достаточность (доказать, что из существования чисел следует коллинеарность точек).

Доказательство необходимости (⇒)

Пусть точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой. Это означает, что векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ коллинеарны.

Рассмотрим сначала случай, когда точки $A$, $B$, $C$ различны. Из коллинеарности векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ следует, что существует такое число $t$, что $\vec{AC} = t \cdot \vec{AB}$.

Выразим векторы в этом равенстве через радиус-векторы, отложенные от произвольной точки $O$:

$\vec{OC} - \vec{OA} = t(\vec{OB} - \vec{OA})$

Раскроем скобки и перенесем все слагаемые в левую часть:

$\vec{OC} - \vec{OA} - t\vec{OB} + t\vec{OA} = \vec{0}$

$(t-1)\vec{OA} - t\vec{OB} + 1 \cdot \vec{OC} = \vec{0}$

Обозначим коэффициенты: $k = t-1$, $l = -t$, $m = 1$. Тогда мы получаем искомое равенство:

$k\vec{OA} + l\vec{OB} + m\vec{OC} = \vec{0}$

Проверим выполнение условий для этих чисел:

1. Сумма коэффициентов: $k + l + m = (t-1) + (-t) + 1 = 0$.
2. Коэффициенты не равны нулю одновременно, так как $m=1 \neq 0$.

Таким образом, для различных коллинеарных точек $A, B, C$ требуемые числа $k, l, m$ существуют.

Если некоторые из точек совпадают (например, $A=B$), они все равно лежат на одной прямой. В этом случае можно выбрать $k=1, l=-1, m=0$. Сумма $1+(-1)+0=0$. Коэффициенты не все равны нулю. Равенство $k\vec{OA} + l\vec{OB} + m\vec{OC} = \vec{0}$ примет вид $1\cdot\vec{OA} - 1\cdot\vec{OB} + 0\cdot\vec{OC} = \vec{OA} - \vec{OB} = \vec{BA}$. Так как $A=B$, то $\vec{BA} = \vec{0}$, и равенство выполняется.
Следовательно, первая часть утверждения доказана.

Ответ: Утверждение доказано.

Доказательство достаточности (⇐)

Пусть существуют числа $k, l, m$, не все равные нулю, такие, что $k+l+m=0$ и для произвольной точки $O$ выполняется равенство $k\vec{OA} + l\vec{OB} + m\vec{OC} = \vec{0}$. Докажем, что точки $A, B, C$ лежат на одной прямой.

Поскольку равенство выполняется для любой точки $O$, выберем в качестве начала отсчета точку $A$. То есть, пусть $O=A$. Тогда равенство примет вид:

$k\vec{AA} + l\vec{AB} + m\vec{AC} = \vec{0}$

Так как $\vec{AA} = \vec{0}$, то получаем:

$l\vec{AB} + m\vec{AC} = \vec{0}$

Рассмотрим возможные случаи, учитывая, что $k, l, m$ не все равны нулю и $k+l+m=0$.

1. Если $m \neq 0$, то из равенства $l\vec{AB} + m\vec{AC} = \vec{0}$ можно выразить вектор $\vec{AC}$:
   $\vec{AC} = -\frac{l}{m}\vec{AB}$.
   Это равенство означает, что векторы $\vec{AC}$ и $\vec{AB}$ коллинеарны. Поскольку они отложены от одной и той же точки $A$, то точки $A, B, C$ лежат на одной прямой.
2. Если $m = 0$, то равенство принимает вид $l\vec{AB} = \vec{0}$. Из условия $k+l+m=0$ следует, что $k+l=0$, или $l = -k$. Так как по условию не все коэффициенты равны нулю, а $m=0$, то $k$ и $l$ не могут быть оба нулевыми. Значит, $l \neq 0$. Но если $l \neq 0$ и $l\vec{AB} = \vec{0}$, то это означает, что $\vec{AB} = \vec{0}$. А это, в свою очередь, означает, что точки $A$ и $B$ совпадают. Три точки, две из которых совпадают ($A, A, C$), всегда лежат на одной прямой.

Таким образом, во всех возможных случаях точки $A, B, C$ лежат на одной прямой. Вторая часть утверждения также доказана.

Ответ: Утверждение доказано.