Номер 912, страница 227 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Параграф 1. Координаты вектора - номер 912, страница 227.

Условие.

912 Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, M — середина отрезка AO. Найдите, если это возможно, такое число k, чтобы выполнялось равенство:

а) $ \vec{AC} = k\vec{AO} $

б) $ \vec{BO} = k\vec{BD} $

в) $ \vec{OC} = k\vec{CA} $

г) $ \vec{AB} = k\vec{DC} $

д) $ \vec{BC} = k\vec{DA} $

е) $ \vec{AM} = k\vec{CA} $

ж) $ \vec{MC} = k\vec{AM} $

з) $ \vec{AC} = k\vec{CM} $

и) $ \vec{AO} = k\vec{BD} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Для решения задачи воспользуемся свойствами векторов и параллелограмма. В параллелограмме $ABCD$ диагонали в точке пересечения $O$ делятся пополам. Это означает, что $O$ — середина диагоналей $AC$ и $BD$. Из этого следуют векторные равенства: $\vec{AO} = \vec{OC} = \frac{1}{2}\vec{AC}$ и $\vec{BO} = \vec{OD} = \frac{1}{2}\vec{BD}$. Также по условию $M$ — середина отрезка $AO$, поэтому $\vec{AM} = \vec{MO} = \frac{1}{2}\vec{AO}$.

а) $\vec{AC} = k\vec{AO}$

Поскольку $O$ — середина $AC$, вектор $\vec{AC}$ состоит из двух векторов $\vec{AO}$: $\vec{AC} = \vec{AO} + \vec{OC} = \vec{AO} + \vec{AO} = 2\vec{AO}$. Сравнивая это с равенством $\vec{AC} = k\vec{AO}$, находим, что $k=2$.
Ответ: $k=2$.

б) $\vec{BO} = k\vec{BD}$

Так как $O$ — середина $BD$, то вектор $\vec{BO}$ равен половине вектора $\vec{BD}$ и имеет то же направление: $\vec{BO} = \frac{1}{2}\vec{BD}$. Сравнивая с равенством $\vec{BO} = k\vec{BD}$, получаем $k=\frac{1}{2}$.
Ответ: $k=\frac{1}{2}$.

в) $\vec{OC} = k\vec{CA}$

Векторы $\vec{OC}$ и $\vec{CA}$ лежат на одной прямой, но направлены в противоположные стороны. Мы знаем, что $\vec{OC} = \vec{AO} = \frac{1}{2}\vec{AC}$. Вектор $\vec{CA}$ противоположен вектору $\vec{AC}$, то есть $\vec{CA} = -\vec{AC}$, или $\vec{AC} = -\vec{CA}$. Подставим это в предыдущее равенство: $\vec{OC} = \frac{1}{2}(-\vec{CA}) = -\frac{1}{2}\vec{CA}$. Из сравнения с $\vec{OC} = k\vec{CA}$ следует, что $k = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $k = -\frac{1}{2}$.

г) $\vec{AB} = k\vec{DC}$

По определению параллелограмма, его противоположные стороны параллельны и равны. Следовательно, векторы, соответствующие этим сторонам, равны: $\vec{AB} = \vec{DC}$. Сравнивая с $\vec{AB} = k\vec{DC}$, получаем $k=1$.
Ответ: $k=1$.

д) $\vec{BC} = k\vec{DA}$

Аналогично предыдущему пункту, $\vec{BC} = \vec{AD}$. Вектор $\vec{DA}$ является противоположным вектору $\vec{AD}$, то есть $\vec{DA} = -\vec{AD}$, откуда $\vec{AD} = -\vec{DA}$. Таким образом, $\vec{BC} = -\vec{DA}$. Сравнивая с $\vec{BC} = k\vec{DA}$, находим $k = -1$.
Ответ: $k = -1$.

е) $\vec{AM} = k\vec{CA}$

По условию $M$ — середина $AO$, значит $\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AO}$. Так как $O$ — середина $AC$, то $\vec{AO} = \frac{1}{2}\vec{AC}$. Тогда $\vec{AM} = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}\vec{AC}) = \frac{1}{4}\vec{AC}$. Учитывая, что $\vec{AC} = -\vec{CA}$, получаем $\vec{AM} = \frac{1}{4}(-\vec{CA}) = -\frac{1}{4}\vec{CA}$. Отсюда $k = -\frac{1}{4}$.
Ответ: $k = -\frac{1}{4}$.

ж) $\vec{MC} = k\vec{AM}$

Вектор $\vec{MC}$ можно представить как сумму векторов: $\vec{MC} = \vec{MO} + \vec{OC}$. Так как $M$ — середина $AO$, то $\vec{MO} = \vec{AM}$. Так как $O$ — середина $AC$, то $\vec{OC} = \vec{AO} = 2\vec{AM}$. Подставим эти выражения: $\vec{MC} = \vec{AM} + 2\vec{AM} = 3\vec{AM}$. Сравнивая с $\vec{MC} = k\vec{AM}$, получаем $k=3$.
Ответ: $k=3$.

з) $\vec{AC} = k\vec{CM}$

Выразим вектор $\vec{CM}$ через $\vec{AC}$. Вектор $\vec{CM}$ противоположен вектору $\vec{MC}$, то есть $\vec{CM} = -\vec{MC}$. Из предыдущего пункта $\vec{MC} = 3\vec{AM}$, а из пункта (е) $\vec{AM} = \frac{1}{4}\vec{AC}$. Значит, $\vec{MC} = 3 \cdot (\frac{1}{4}\vec{AC}) = \frac{3}{4}\vec{AC}$. Тогда $\vec{CM} = -\frac{3}{4}\vec{AC}$. Подставим это в искомое равенство: $\vec{AC} = k(-\frac{3}{4}\vec{AC})$. Сокращая на $\vec{AC}$, получаем $1 = k(-\frac{3}{4})$, откуда $k = -\frac{4}{3}$.
Ответ: $k = -\frac{4}{3}$.

и) $\vec{AO} = k\vec{BD}$

Вектор $\vec{AO}$ направлен вдоль диагонали $AC$, а вектор $\vec{BD}$ — вдоль диагонали $BD$. В общем случае (когда параллелограмм не является вырожденным), диагонали не параллельны. Следовательно, векторы $\vec{AO}$ и $\vec{BD}$ не коллинеарны. Равенство $\vec{a} = k\vec{b}$ для двух неколлинеарных ненулевых векторов невозможно. Поэтому найти такое число $k$ нельзя.
Ответ: такое число $k$ найти невозможно.