Номер 892, страница 218 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 8 - номер 892, страница 218.

Условие.

892 Докажите, что площадь прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равна произведению её оснований.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 10.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, где $BC$ и $AD$ – основания, а $AB$ – боковая сторона, перпендикулярная основаниям. Обозначим длины оснований как $BC = a$ и $AD = b$. Высота трапеции $h$ равна длине стороны $AB$.

Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$.

Поскольку в трапецию можно вписать окружность, она является описанным четырехугольником. Для любого описанного четырехугольника сумма длин противоположных сторон равна. Следовательно, для нашей трапеции: $AD + BC = AB + CD$. В наших обозначениях это выглядит так: $b + a = h + CD$.

Так как трапеция прямоугольная и в нее вписана окружность, то ее высота $h$ равна диаметру вписанной окружности. Если радиус окружности равен $r$, то $h = 2r$. Также $h = AB$. Подставим это в предыдущее равенство: $a + b = 2r + CD$, откуда можно выразить боковую сторону $CD$: $CD = a + b - 2r$.

Проведем из вершины $C$ высоту $CH$ на основание $AD$. Мы получим прямоугольный треугольник $CHD$. Катет $CH$ равен высоте трапеции $h$, то есть $CH = 2r$. Другой катет $HD$ равен разности оснований: $HD = AD - AH = AD - BC = b - a$. Гипотенуза – это боковая сторона $CD$.

По теореме Пифагора для треугольника $CHD$: $CD^2 = CH^2 + HD^2$. Подставим известные нам выражения: $CD^2 = (2r)^2 + (b-a)^2$.

Теперь у нас есть два выражения для $CD$. Приравняем их, предварительно возведя в квадрат выражение, полученное из свойства описанного четырехугольника: $(a + b - 2r)^2 = (2r)^2 + (b-a)^2$. Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и разности: $(a+b)^2 - 2(a+b)(2r) + (2r)^2 = (2r)^2 + (b-a)^2$. $a^2 + 2ab + b^2 - 4r(a+b) + 4r^2 = 4r^2 + b^2 - 2ab + a^2$. Сократим одинаковые слагаемые в обеих частях уравнения ($a^2$, $b^2$, $4r^2$): $2ab - 4r(a+b) = -2ab$. Перенесем слагаемые: $4ab = 4r(a+b)$. Разделим обе части на 4: $ab = r(a+b)$.

Теперь вернемся к формуле площади трапеции. Мы знаем, что $h=2r$. $S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{a+b}{2} \cdot 2r = (a+b)r$. Из полученного выше равенства мы знаем, что $(a+b)r = ab$. Следовательно, $S = ab$.

Таким образом, мы доказали, что площадь прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равна произведению ее оснований.

Ответ: Утверждение доказано.