Номер 875, страница 216 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 7 - номер 875, страница 216.

Условие.

875 Постройте трапецию по боковой стороне, большему основанию, углу между ними и отношению двух других сторон.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 10.

Анализ

Пусть искомая трапеция ABCD, где AD — большее основание, а BC — меньшее. По условию нам даны:

• длина большего основания AD = a;
• длина боковой стороны AB = c;
• угол между ними $ \angle DAB = \alpha $;
• отношение двух других сторон $ BC/CD = m/n $, где m и n — заданные отрезки (или их отношение k).

По трем известным элементам (сторона AD, сторона AB и угол $ \angle DAB $ между ними) мы можем однозначно построить три вершины трапеции: A, D и B.
Четвертая вершина C должна удовлетворять двум условиям:
1. Точка C должна лежать на прямой l, проходящей через точку B параллельно основанию AD, так как BC || AD.
2. Расстояния от точки C до точек B и D должны удовлетворять заданному отношению: $ BC/CD = m/n $, или, что то же самое, $ CD/BC = n/m $.
Геометрическое место точек (ГМТ), отношение расстояний от которых до двух заданных точек (в нашем случае B и D) постоянно и не равно единице, является окружностью, известной как окружность Аполлония. Если отношение равно единице (m = n), то ГМТ — это серединный перпендикуляр к отрезку BD.
Таким образом, задача сводится к нахождению точки C как пересечения двух ГМТ: прямой l и окружности Аполлония.
Ответ: План построения состоит в нахождении вершины C как точки пересечения двух геометрических мест: прямой, параллельной основанию AD и проходящей через вершину B, и окружности Аполлония для точек B и D с заданным отношением расстояний.

Построение

Пусть заданы отрезки a, c, m, n и угол $ \alpha $.
1. Построим отрезок AD, равный a.
2. От луча AD в заданной полуплоскости отложим угол $ \angle DAX = \alpha $.
3. На луче AX отложим отрезок AB, равный c. Таким образом, мы получили три вершины трапеции: A, B, D.
4. Через точку B проведем прямую l, параллельную прямой AD. Вершина C будет лежать на этой прямой.
5. Построим окружность Аполлония для точек B и D и отношения n/m. Для этого:
а) Проведем прямую BD.
б) Найдем на отрезке BD точку K₁, которая делит его в отношении $ DK_1 / BK_1 = n/m $ (стандартное построение с помощью теоремы Фалеса).
в) Найдем на продолжении отрезка BD за точку B (если n > m) или за точку D (если n < m) точку K₂, которая делит отрезок BD внешним образом в том же отношении: $ DK_2 / BK_2 = n/m $.
г) Отрезок K₁K₂ является диаметром искомой окружности Аполлония $ \omega $. Найдем его середину — точку O — и построим окружность $ \omega $ с центром в O и радиусом $ R = OK_1 $.
(Если m = n, то вместо окружности строим серединный перпендикуляр к отрезку BD).
6. Найдем точки пересечения прямой l и окружности $ \omega $. Каждая точка пересечения является возможным положением вершины C. Обозначим эту точку (или точки) как C.
7. Соединим точку C с точками B и D.
Полученная фигура ABCD является искомой трапецией.
Ответ: Построенная трапеция ABCD является искомой.

Доказательство

В построенном четырехугольнике ABCD:
1. Сторона AD равна a по построению (шаг 1).
2. Сторона AB равна c по построению (шаг 3).
3. Угол $ \angle DAB $ равен $ \alpha $ по построению (шаг 2).
4. Прямая BC параллельна прямой AD, так как точка C лежит на прямой l, построенной параллельно AD (шаг 4). Следовательно, ABCD — трапеция.
5. Точка C лежит на окружности Аполлония для точек B, D и отношения n/m (шаг 6). По определению этой окружности, для любой ее точки (включая C) выполняется равенство $ CD/BC = n/m $, что эквивалентно $ BC/CD = m/n $.
Таким образом, построенная трапеция ABCD удовлетворяет всем условиям задачи.
Ответ: Построенная фигура ABCD удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Задача о построении сводится к нахождению точек пересечения прямой l и окружности Аполлония $ \omega $. Количество решений зависит от их взаимного расположения.
1. Построение вершин A, B, D всегда возможно и однозначно, если $ a>0, c>0, 0 < \alpha < 180^{\circ} $.
2. Построение окружности Аполлония (или серединного перпендикуляра) для точек B и D также всегда возможно и однозначно.
3. Количество решений задачи определяется числом точек пересечения прямой l и окружности $ \omega $.
- Если прямая l пересекает окружность $ \omega $ в двух точках ($ C_1 $ и $ C_2 $), задача имеет два решения. Это происходит, когда расстояние от центра окружности O до прямой l меньше ее радиуса R.
- Если прямая l касается окружности $ \omega $ в одной точке, задача имеет одно решение. Это происходит, когда расстояние от O до l равно радиусу R.
- Если прямая l не имеет общих точек с окружностью $ \omega $, задача не имеет решений. Это происходит, когда расстояние от O до l больше радиуса R.
Таким образом, в зависимости от исходных данных (a, c, $ \alpha $, и отношения m/n), которые определяют параметры прямой l и окружности $ \omega $, задача может иметь два, одно или ни одного решения.
Ответ: Задача может иметь два, одно или не иметь ни одного решения в зависимости от взаимного расположения прямой l и окружности Аполлония $ \omega $, которое определяется исходными данными.