Страница 234 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

574. Расстояние от А до В по течению реки катер проходит в 1,5 раза медленнее, чем теплоход, причём за каждый час катер отстаёт от теплохода на 8 км. Против течения реки путь от В до А теплоход проходит в 2 раза быстрее катера. Найти скорости теплохода и катера в стоячей воде.

Для решения задачи введем следующие обозначения:
$v_т$ — собственная скорость теплохода (в стоячей воде), км/ч.
$v_к$ — собственная скорость катера (в стоячей воде), км/ч.
$v_р$ — скорость течения реки, км/ч.

Решение

Проанализируем условия задачи и составим систему уравнений.

1. Движение по течению (из А в В):
Скорость теплохода по течению равна $v_т + v_р$.
Скорость катера по течению равна $v_к + v_р$.

Из условия, что "за каждый час катер отстаёт от теплохода на 8 км", следует, что разница их скоростей по течению равна 8 км/ч:
$(v_т + v_р) - (v_к + v_р) = 8$
$v_т + v_р - v_к - v_р = 8$
$v_т - v_к = 8$
Это наше первое уравнение. Оно показывает, что собственная скорость теплохода на 8 км/ч больше собственной скорости катера.

Из условия, что "расстояние от А до В по течению реки катер проходит в 1,5 раза медленнее, чем теплоход", следует, что время движения катера в 1,5 раза больше времени движения теплохода. Если расстояние равно $S$, то $t_{катера} = 1.5 \cdot t_{теплохода}$.
$S / (v_к + v_р) = 1.5 \cdot S / (v_т + v_р)$
Сократив на $S$, получаем второе уравнение:
$v_т + v_р = 1.5(v_к + v_р)$

2. Движение против течения (из В в А):
Скорость теплохода против течения равна $v_т - v_р$.
Скорость катера против течения равна $v_к - v_р$.

Из условия, что "путь от В до А теплоход проходит в 2 раза быстрее катера", следует, что скорость теплохода против течения в 2 раза больше скорости катера против течения (или время теплохода в 2 раза меньше времени катера, что приводит к тому же уравнению):
$v_т - v_р = 2(v_к - v_р)$
Это наше третье уравнение.

Теперь решим полученную систему из трех уравнений:
1) $v_т - v_к = 8$
2) $v_т + v_р = 1.5(v_к + v_р)$
3) $v_т - v_р = 2(v_к - v_р)$

Из первого уравнения выразим $v_т$: $v_т = v_к + 8$.

Подставим это выражение в третье уравнение, чтобы найти связь между $v_к$ и $v_р$:
$(v_к + 8) - v_р = 2(v_к - v_р)$
$v_к + 8 - v_р = 2v_к - 2v_р$
$2v_р - v_р = 2v_к - v_к - 8$
$v_р = v_к - 8$

Теперь мы выразили $v_т$ и $v_р$ через $v_к$. Подставим оба эти выражения во второе уравнение:
$(v_к + 8) + (v_к - 8) = 1.5(v_к + (v_к - 8))$
$2v_к = 1.5(2v_к - 8)$
$2v_к = 3v_к - 12$
$3v_к - 2v_к = 12$
$v_к = 12$

Мы нашли собственную скорость катера: 12 км/ч.
Теперь найдем собственную скорость теплохода:
$v_т = v_к + 8 = 12 + 8 = 20$
Собственная скорость теплохода равна 20 км/ч.
(При необходимости можем найти и скорость течения: $v_р = v_к - 8 = 12 - 8 = 4$ км/ч).

Ответ: скорость теплохода в стоячей воде — 20 км/ч, скорость катера в стоячей воде — 12 км/ч.