Страница 238 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Каким способом решается задача: 1; 2; 6?

1. Данная задача представляет собой классическую математическую головоломку. Требуется найти способ, которым из чисел 1 и 2 можно получить число 6. Решение обычно включает использование математической операции "факториал".

Алгоритм решения следующий:

1. Сложить первые два числа, 1 и 2.
   $1 + 2 = 3$
2. Взять факториал от полученной суммы. Факториал натурального числа $n$ (обозначается $n!$) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$ включительно.
   $3! = 3 \times 2 \times 1$
3. Вычислить результат.
   $3! = 6$

Таким образом, математическое выражение, решающее эту задачу, выглядит так: $(1 + 2)! = 6$.

Также возможна другая трактовка, при которой числа 1, 2, 6 рассматриваются как начальные члены некой последовательности. В этом случае они соответствуют последовательности факториалов натуральных чисел:

• $1! = 1$
• $2! = 2$
• $3! = 6$

Следующим членом такой последовательности был бы $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$. Однако формулировка вопроса «Каким способом решается задача» делает первый вариант (нахождение 6 из 1 и 2) наиболее вероятным.

Ответ: Задача решается путем сложения чисел 1 и 2 с последующим вычислением факториала от их суммы: $(1 + 2)! = 3! = 6$.

2. Как следует преобразовать уравнения системы в задаче 2, чтобы её можно было решить с помощью теоремы, обратной теореме Виета?

Для того чтобы решить систему уравнений с помощью теоремы, обратной теореме Виета, необходимо преобразовать исходную систему к такому виду, где явно выражены сумма и произведение неизвестных переменных. Теорема, обратная теореме Виета, гласит: если числа $u$ и $v$ таковы, что их сумма $u+v = S$ и их произведение $u \cdot v = P$, то эти числа являются корнями квадратного уравнения $z^2 - Sz + P = 0$.

Следовательно, цель преобразования — получить из исходной системы новую, эквивалентную ей систему вида:

$\begin{cases} x+y=S \\ xy=P \end{cases}$

где $x$ и $y$ — переменные системы, а $S$ и $P$ — некоторые числа или выражения, которые мы находим в процессе преобразований.

Поскольку сама "задача 2" не приведена, рассмотрим общий подход на типичном примере. Предположим, что система уравнений в задаче 2 имеет вид, где напрямую не дана сумма или произведение переменных. Например:

$\begin{cases} x+y=8 \\ x^2+y^2=40 \end{cases}$

Чтобы привести эту систему к нужному виду, выполним следующие преобразования:

1. Первое уравнение уже дает нам сумму переменных: $x+y=8$. Таким образом, мы нашли значение $S=8$.

2. Теперь нам нужно найти произведение переменных, $xy=P$. Для этого воспользуемся вторым уравнением и алгебраическим тождеством, связывающим квадрат суммы с суммой квадратов: $(x+y)^2 = x^2+y^2+2xy$.

3. Подставим известные значения из нашей системы в это тождество. Мы знаем, что $x+y=8$ и $x^2+y^2=40$.

   $8^2 = 40 + 2xy$

4. Решим полученное уравнение относительно $xy$:

   $64 = 40 + 2xy$

   $2xy = 64 - 40$

   $2xy = 24$

   $xy = 12$

   Таким образом, мы нашли значение $P=12$.

5. Теперь исходная система преобразована к виду, подходящему для применения теоремы, обратной теореме Виета:

   $\begin{cases} x+y=8 \\ xy=12 \end{cases}$

После такого преобразования мы можем утверждать, что $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $z^2 - 8z + 12 = 0$. Решив это уравнение, мы найдем пары значений для $x$ и $y$.Дискриминант $D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 - 48 = 16$.Корни: $z_1 = \frac{8 - \sqrt{16}}{2} = \frac{8-4}{2} = 2$ и $z_2 = \frac{8 + \sqrt{16}}{2} = \frac{8+4}{2} = 6$.Следовательно, решениями системы являются пары $(2; 6)$ и $(6; 2)$.

Ответ: Уравнения системы следует преобразовать таким образом, чтобы получить эквивалентную систему вида $\begin{cases} x+y=S \\ xy=P \end{cases}$. Это достигается путем алгебраических манипуляций с исходными уравнениями (например, возведение в квадрат, использование формул сокращенного умножения) с целью выразить сумму ($x+y$) и произведение ($xy$) переменных через известные константы.

3. Какое условие должно выполняться, чтобы можно было выполнить деление одного уравнения на другое?

Деление одного уравнения на другое является одним из методов решения систем уравнений. Этот метод основан на свойстве равенств: если даны два верных равенства $A=B$ и $C=D$, и при этом $C \neq 0$ (и, следовательно, $D \neq 0$), то можно разделить одно равенство на другое, и полученное равенство $\frac{A}{C} = \frac{B}{D}$ также будет верным.

Таким образом, ключевое условие, которое должно выполняться, чтобы можно было выполнить деление одного уравнения на другое, это необходимость того, чтобы обе части уравнения, на которое производится деление (делитель), были отличны от нуля.

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases}f_1(x, y, ...) = g_1(x, y, ...) \quad (1) \\f_2(x, y, ...) = g_2(x, y, ...) \quad (2)\end{cases}$

Чтобы разделить уравнение (1) на уравнение (2), необходимо потребовать выполнения условия: $f_2(x, y, ...) \neq 0$. Поскольку $f_2(x, y, ...)$ равно $g_2(x, y, ...)$, это автоматически означает, что и $g_2(x, y, ...) \neq 0$.

Почему это важно?

Нарушение этого условия приводит к операции деления на ноль, которая в математике не определена. При решении систем уравнений это может привести к потере корней. Если не проверить случай, когда делитель равен нулю, можно упустить те решения, при которых это происходит.

Пример 1: Корректное применение

Рассмотрим систему:$\begin{cases}x^2y = 12 \\xy = 6\end{cases}$

Мы можем разделить первое уравнение на второе. Для этого нужно, чтобы части второго уравнения не были равны нулю, то есть $xy \neq 0$ (и $6 \neq 0$, что всегда верно). Условие $xy \neq 0$ означает, что $x \neq 0$ и $y \neq 0$.

При выполнении этого условия делим: $\frac{x^2y}{xy} = \frac{12}{6}$.

После сокращения получаем $x = 2$. Подставляя это значение во второе уравнение, находим $2y = 6$, откуда $y = 3$.

Мы получили решение $(2, 3)$. Теперь проверим наше условие для этого решения: $xy = 2 \cdot 3 = 6 \neq 0$. Условие выполнено, значит, это решение является корректным и найдено без ошибок.

Пример 2: Риск потери корней

Рассмотрим систему:$\begin{cases}x^2 = y^2 \\x = y\end{cases}$

Если мы сразу разделим первое уравнение на второе, то нам потребуется, чтобы $x \neq 0$ (и, соответственно, $y \neq 0$). Деление $\frac{x^2}{x} = \frac{y^2}{y}$ дает $x=y$, что является вторым уравнением и не дает новой информации. Однако, применив это преобразование, мы неявно предположили, что $x \neq 0$.

Чтобы избежать потери корней, нужно действовать так:

1. Рассмотреть случай, когда делитель равен нулю. В нашем случае это $x=0$. Из второго уравнения следует, что и $y=0$. Подставим точку $(0,0)$ в исходную систему:$\begin{cases}0^2 = 0^2 \quad (\text{Верно}) \\0 = 0 \quad (\text{Верно})\end{cases}$Следовательно, $(0,0)$ является решением.
2. Рассмотреть случай, когда делитель не равен нулю, то есть $x \neq 0$. В этом случае мы можем безопасно разделить уравнения. Как мы видели, это приводит нас к уравнению $x=y$, которое является вторым уравнением системы. Решениями являются все пары $(x,y)$ такие, что $x=y$ и $x \neq 0$.

Объединив решения из обоих случаев, мы получаем, что решением системы является вся прямая $y=x$. Если бы мы просто разделили уравнения, проигнорировав случай $x=0$, мы бы потеряли корень $(0,0)$.

Ответ: Чтобы выполнить деление одного уравнения на другое, необходимо, чтобы обе части уравнения-делителя были не равны нулю. Если делитель может обращаться в ноль при каких-либо значениях переменных, этот случай необходимо рассмотреть отдельно, чтобы не потерять решения исходной системы.

1. Выразить $y$ через $x$ из уравнения:

1) $3x + 5y = 4$;

2) $2xy = 1$.

1)

Чтобы выразить переменную $y$ через переменную $x$ из уравнения $3x + 5y = 4$, нужно изолировать $y$ в одной части уравнения. Выполним следующие шаги:

1. Перенесем слагаемое, содержащее $x$, в правую часть уравнения. При переносе слагаемого из одной части уравнения в другую его знак меняется на противоположный.

$5y = 4 - 3x$

2. Теперь левая часть представляет собой произведение коэффициента 5 и переменной $y$. Чтобы найти $y$, разделим обе части уравнения на коэффициент 5.

$y = \frac{4 - 3x}{5}$

Полученное выражение можно также представить в виде линейной функции $y = -\frac{3}{5}x + \frac{4}{5}$.

Ответ: $y = \frac{4 - 3x}{5}$

2)

Дано уравнение $2xy = 1$. Чтобы выразить $y$ через $x$, необходимо выполнить следующие действия:

1. В данном уравнении $y$ является множителем в левой части. Чтобы найти $y$, нужно разделить произведение (правую часть уравнения) на известные множители (все, кроме $y$, в левой части). В данном случае, разделим обе части уравнения на $2x$.

Это действие правомерно при условии, что делитель не равен нулю, то есть $2x \neq 0$, что эквивалентно $x \neq 0$.

$\frac{2xy}{2x} = \frac{1}{2x}$

2. Сокращаем дробь в левой части:

$y = \frac{1}{2x}$

Ответ: $y = \frac{1}{2x}$

2. Сложить почленно уравнения системы:

1) $\begin{cases} x + 2y - 5xy = 4, \\ 2x + y + 5xy = 8; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x - 2y + 3xy = -16, \\ 2x - y - 3xy = 4. \end{cases}$

1) Чтобы сложить почленно уравнения системы $ \begin{cases} x + 2y - 5xy = 4, \\ 2x + y + 5xy = 8 \end{cases} $, необходимо сложить левые и правые части этих уравнений.

Сначала сложим левые части:

$(x + 2y - 5xy) + (2x + y + 5xy)$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(x + 2x) + (2y + y) + (-5xy + 5xy) = 3x + 3y$

Теперь сложим правые части:

$4 + 8 = 12$

Приравняем полученные выражения. В результате почленного сложения получаем новое уравнение:

$3x + 3y = 12$

Ответ: $3x + 3y = 12$.

2) Аналогично выполним почленное сложение для системы $ \begin{cases} x - 2y + 3xy = -16, \\ 2x - y - 3xy = 4 \end{cases} $.

Сложение левых частей:

$(x - 2y + 3xy) + (2x - y - 3xy)$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(x + 2x) + (-2y - y) + (3xy - 3xy) = 3x - 3y$

Сложение правых частей:

$-16 + 4 = -12$

Приравняем результаты. Полученное уравнение:

$3x - 3y = -12$

Ответ: $3x - 3y = -12$.

3. Разделить уравнение $64x^3 + y^3 = 8$ на уравнение $4x + y = 2$.

3.

Чтобы разделить уравнение $64x^3 + y^3 = 8$ на уравнение $4x + y = 2$, мы разделим левую часть первого уравнения на левую часть второго, а правую часть первого уравнения на правую часть второго.

Запишем это в виде одного равенства:

$\frac{64x^3 + y^3}{4x + y} = \frac{8}{2}$

Обратим внимание на выражение в числителе левой дроби: $64x^3 + y^3$. Это выражение является суммой кубов, так как $64x^3 = (4x)^3$.

Применим формулу сокращенного умножения для суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

Для нашего случая, где $a = 4x$ и $b = y$, получаем:

$64x^3 + y^3 = (4x)^3 + y^3 = (4x + y)( (4x)^2 - (4x)y + y^2 ) = (4x + y)(16x^2 - 4xy + y^2)$

Теперь подставим полученное разложение обратно в наше равенство:

$\frac{(4x + y)(16x^2 - 4xy + y^2)}{4x + y} = \frac{8}{2}$

Из второго уравнения нам известно, что $4x + y = 2$. Так как это значение не равно нулю, мы можем сократить дробь в левой части на общий множитель $(4x + y)$. В правой части выполним деление:

$16x^2 - 4xy + y^2 = 4$

Ответ: $16x^2 - 4xy + y^2 = 4$.

4. Известно, что $\frac{x}{y} = t$. Выразить через $t$ отношение $\frac{y}{x}$.

По условию задачи нам дано равенство: $\frac{x}{y} = t$.

Требуется выразить через $t$ отношение $\frac{y}{x}$.

Заметим, что искомое отношение $\frac{y}{x}$ является обратным к данному отношению $\frac{x}{y}$. Чтобы найти $\frac{y}{x}$, мы можем взять обратное значение (возвести в степень -1) от обеих частей исходного равенства. Это преобразование будет верным при условии, что обе части уравнения не равны нулю, то есть $x \neq 0$ и $t \neq 0$.

Выполним преобразование:

$\frac{x}{y} = t$

Возведем обе части в степень -1:

$(\frac{x}{y})^{-1} = t^{-1}$

По свойству степени, $(\frac{a}{b})^{-1} = \frac{b}{a}$ и $a^{-1} = \frac{1}{a}$. Применяя это свойство, получаем:

$\frac{y}{x} = \frac{1}{t}$

Таким образом, мы выразили искомое отношение через $t$.

Ответ: $\frac{1}{t}$

Решить систему уравнений (575—586).

575. 1) $\begin{cases} xy - x + y = 7, \\ xy + x - y = 13; \end{cases}$

2) $\begin{cases} xy - 2(x + y) = 2, \\ xy + x + y = 29. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} xy - x + y = 7 \\ xy + x - y = 13 \end{cases} $$

Для решения этой системы удобно использовать метод введения новых переменных. Заметим, что в обоих уравнениях присутствуют выражения $xy$ и $x-y$ (во втором уравнении) или $y-x=-(x-y)$ (в первом уравнении).

Пусть $u = xy$ и $v = x - y$. Тогда первое уравнение можно записать как $u - (x - y) = 7$, то есть $u - v = 7$. Второе уравнение записывается как $u + (x - y) = 13$, то есть $u + v = 13$.

Получаем систему линейных уравнений относительно переменных $u$ и $v$:

$$ \begin{cases} u - v = 7 \\ u + v = 13 \end{cases} $$

Сложим эти два уравнения, чтобы найти $u$:

$(u - v) + (u + v) = 7 + 13$

$2u = 20$

$u = 10$

Теперь подставим найденное значение $u$ во второе уравнение $u + v = 13$:

$10 + v = 13$

$v = 3$

Мы нашли значения для $u$ и $v$. Вернемся к исходным переменным $x$ и $y$:

$$ \begin{cases} xy = u = 10 \\ x - y = v = 3 \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим $x$ через $y$:

$x = y + 3$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$(y + 3)y = 10$

$y^2 + 3y - 10 = 0$

Получили квадратное уравнение относительно $y$. Решим его с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 = 7^2$

Корни уравнения:

$y_1 = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$y_2 = \frac{-3 - 7}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Для каждого найденного значения $y$ найдем соответствующее значение $x$ из соотношения $x = y + 3$:

При $y_1 = 2$, $x_1 = 2 + 3 = 5$.

При $y_2 = -5$, $x_2 = -5 + 3 = -2$.

Таким образом, решениями системы являются две пары чисел.

Ответ: $(5, 2)$, $(-2, -5)$.

2)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} xy - 2(x + y) = 2 \\ xy + x + y = 29 \end{cases} $$

Эта система также решается методом введения новых переменных. В обоих уравнениях есть выражения $xy$ и $x+y$.

Пусть $u = xy$ и $v = x + y$.

Подставив эти переменные в исходную систему, получим:

$$ \begin{cases} u - 2v = 2 \\ u + v = 29 \end{cases} $$

Получили простую систему линейных уравнений. Чтобы найти $v$, вычтем первое уравнение из второго:

$(u + v) - (u - 2v) = 29 - 2$

$u + v - u + 2v = 27$

$3v = 27$

$v = 9$

Теперь подставим $v = 9$ во второе уравнение $u + v = 29$ для нахождения $u$:

$u + 9 = 29$

$u = 20$

Сделаем обратную замену, чтобы вернуться к переменным $x$ и $y$:

$$ \begin{cases} xy = u = 20 \\ x + y = v = 9 \end{cases} $$

Согласно теореме, обратной теореме Виета, числа $x$ и $y$ с суммой 9 и произведением 20 являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 9t + 20 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Корни можно найти подбором: числа 4 и 5 в сумме дают 9 и в произведении 20. Или с помощью дискриминанта:

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 81 - 80 = 1$

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{9 + \sqrt{1}}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$t_2 = \frac{9 - \sqrt{1}}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Корни $t_1$ и $t_2$ являются значениями для $x$ и $y$. Это означает, что если $x=5$, то $y=4$, и если $x=4$, то $y=5$.

Ответ: $(5, 4)$, $(4, 5)$.

576. 1) $\begin{cases} (x-1)(y-1)=2, \\ x+y=5; \end{cases}$

2) $\begin{cases} (x-2)(y+1)=1, \\ x-y=3. \end{cases}$

1) Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} (x-1)(y-1) = 2 \\ x+y = 5 \end{cases} $$

Для решения системы используем метод подстановки. Из второго уравнения выразим переменную y через x:

$y = 5 - x$

Теперь подставим полученное выражение для y в первое уравнение системы:

$(x-1)((5-x)-1) = 2$

Упростим и решим полученное уравнение относительно x:

$(x-1)(4-x) = 2$

Раскроем скобки:

$4x - x^2 - 4 + x = 2$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$-x^2 + 5x - 4 - 2 = 0$

$-x^2 + 5x - 6 = 0$

Умножим обе части уравнения на -1 для удобства:

$x^2 - 5x + 6 = 0$

Корни этого квадратного уравнения можно найти по теореме Виета. Сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Таким образом, корни уравнения:

$x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Теперь найдем соответствующие значения y для каждого найденного значения x, используя формулу $y = 5 - x$:

1. Если $x_1 = 2$, то $y_1 = 5 - 2 = 3$.

2. Если $x_2 = 3$, то $y_2 = 5 - 3 = 2$.

Таким образом, система имеет два решения в виде пар чисел (x; y).

Ответ: (2; 3), (3; 2).

2) Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} (x-2)(y+1) = 1 \\ x-y = 3 \end{cases} $$

Воспользуемся методом подстановки. Из второго уравнения выразим переменную x через y:

$x = y + 3$

Подставим это выражение для x в первое уравнение системы:

$((y+3)-2)(y+1) = 1$

Упростим и решим полученное уравнение:

$(y+1)(y+1) = 1$

$(y+1)^2 = 1$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Это дает два возможных случая:

$y+1 = 1$ или $y+1 = -1$

Решим каждое из этих простых линейных уравнений:

1. $y_1 = 1 - 1 = 0$

2. $y_2 = -1 - 1 = -2$

Теперь найдем соответствующие значения x для каждого найденного значения y, используя формулу $x = y + 3$:

1. Если $y_1 = 0$, то $x_1 = 0 + 3 = 3$.

2. Если $y_2 = -2$, то $x_2 = -2 + 3 = 1$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: (3; 0), (1; -2).