Номер 3, страница 238 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 34. Различные приёмы решения систем уравнений. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 3, страница 238.

Условие.

3. Какое условие должно выполняться, чтобы можно было выполнить деление одного уравнения на другое?

Решение 4.

Деление одного уравнения на другое является одним из методов решения систем уравнений. Этот метод основан на свойстве равенств: если даны два верных равенства $A=B$ и $C=D$, и при этом $C \neq 0$ (и, следовательно, $D \neq 0$), то можно разделить одно равенство на другое, и полученное равенство $\frac{A}{C} = \frac{B}{D}$ также будет верным.

Таким образом, ключевое условие, которое должно выполняться, чтобы можно было выполнить деление одного уравнения на другое, это необходимость того, чтобы обе части уравнения, на которое производится деление (делитель), были отличны от нуля.

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases}f_1(x, y, ...) = g_1(x, y, ...) \quad (1) \\f_2(x, y, ...) = g_2(x, y, ...) \quad (2)\end{cases}$

Чтобы разделить уравнение (1) на уравнение (2), необходимо потребовать выполнения условия: $f_2(x, y, ...) \neq 0$. Поскольку $f_2(x, y, ...)$ равно $g_2(x, y, ...)$, это автоматически означает, что и $g_2(x, y, ...) \neq 0$.

Почему это важно?

Нарушение этого условия приводит к операции деления на ноль, которая в математике не определена. При решении систем уравнений это может привести к потере корней. Если не проверить случай, когда делитель равен нулю, можно упустить те решения, при которых это происходит.

Пример 1: Корректное применение

Рассмотрим систему:$\begin{cases}x^2y = 12 \\xy = 6\end{cases}$

Мы можем разделить первое уравнение на второе. Для этого нужно, чтобы части второго уравнения не были равны нулю, то есть $xy \neq 0$ (и $6 \neq 0$, что всегда верно). Условие $xy \neq 0$ означает, что $x \neq 0$ и $y \neq 0$.

При выполнении этого условия делим: $\frac{x^2y}{xy} = \frac{12}{6}$.

После сокращения получаем $x = 2$. Подставляя это значение во второе уравнение, находим $2y = 6$, откуда $y = 3$.

Мы получили решение $(2, 3)$. Теперь проверим наше условие для этого решения: $xy = 2 \cdot 3 = 6 \neq 0$. Условие выполнено, значит, это решение является корректным и найдено без ошибок.

Пример 2: Риск потери корней

Рассмотрим систему:$\begin{cases}x^2 = y^2 \\x = y\end{cases}$

Если мы сразу разделим первое уравнение на второе, то нам потребуется, чтобы $x \neq 0$ (и, соответственно, $y \neq 0$). Деление $\frac{x^2}{x} = \frac{y^2}{y}$ дает $x=y$, что является вторым уравнением и не дает новой информации. Однако, применив это преобразование, мы неявно предположили, что $x \neq 0$.

Чтобы избежать потери корней, нужно действовать так:

1. Рассмотреть случай, когда делитель равен нулю. В нашем случае это $x=0$. Из второго уравнения следует, что и $y=0$. Подставим точку $(0,0)$ в исходную систему:$\begin{cases}0^2 = 0^2 \quad (\text{Верно}) \\0 = 0 \quad (\text{Верно})\end{cases}$Следовательно, $(0,0)$ является решением.
2. Рассмотреть случай, когда делитель не равен нулю, то есть $x \neq 0$. В этом случае мы можем безопасно разделить уравнения. Как мы видели, это приводит нас к уравнению $x=y$, которое является вторым уравнением системы. Решениями являются все пары $(x,y)$ такие, что $x=y$ и $x \neq 0$.

Объединив решения из обоих случаев, мы получаем, что решением системы является вся прямая $y=x$. Если бы мы просто разделили уравнения, проигнорировав случай $x=0$, мы бы потеряли корень $(0,0)$.

Ответ: Чтобы выполнить деление одного уравнения на другое, необходимо, чтобы обе части уравнения-делителя были не равны нулю. Если делитель может обращаться в ноль при каких-либо значениях переменных, этот случай необходимо рассмотреть отдельно, чтобы не потерять решения исходной системы.