Номер 573, страница 233 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 33. Исследование и решение систем уравнений. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 573, страница 233.

Условие.

573. Решить систему уравнений:

1) $\begin{cases} x + y = 5 \\ x^3 + y^3 = 35 \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^3 + y^3 = 152 \\ x^2 - xy + y^2 = 19 \end{cases}$

Решение 3.

Решение 4.

1) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 5 \\ x^3 + y^3 = 35 \end{cases} $

Воспользуемся формулой суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$.

Также преобразуем выражение $x^2 - xy + y^2$, выделив полный квадрат суммы: $x^2 - xy + y^2 = (x^2 + 2xy + y^2) - 3xy = (x+y)^2 - 3xy$.

Тогда формула суммы кубов примет вид: $x^3 + y^3 = (x+y)((x+y)^2 - 3xy)$.

Подставим известные значения из системы уравнений в это выражение:

$35 = 5 \cdot (5^2 - 3xy)$

Разделим обе части уравнения на 5:

$7 = 25 - 3xy$

Теперь найдем произведение $xy$:

$3xy = 25 - 7$

$3xy = 18$

$xy = 6$

Таким образом, исходная система эквивалентна следующей системе:

$ \begin{cases} x + y = 5 \\ xy = 6 \end{cases} $

Согласно обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$, то есть $t^2 - 5t + 6 = 0$.

Решим это уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 1}{2} = 2$

$t_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 1}{2} = 3$

Следовательно, решениями системы являются пары чисел $(2, 3)$ и $(3, 2)$.

Ответ: $(2, 3), (3, 2)$.

2) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^3 + y^3 = 152 \\ x^2 - xy + y^2 = 19 \end{cases} $

Воспользуемся формулой суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$.

Подставим в эту формулу левые и правые части уравнений из системы:

$152 = (x+y) \cdot 19$

Из этого уравнения найдем значение суммы $x+y$:

$x+y = \frac{152}{19} = 8$

Теперь, когда мы знаем $x+y$, мы можем использовать второе уравнение системы для нахождения $xy$. Преобразуем второе уравнение:

$x^2 - xy + y^2 = (x+y)^2 - 3xy$

Подставим известные значения:

$19 = (8)^2 - 3xy$

$19 = 64 - 3xy$

Найдем произведение $xy$:

$3xy = 64 - 19$

$3xy = 45$

$xy = 15$

Теперь у нас есть простая система:

$ \begin{cases} x + y = 8 \\ xy = 15 \end{cases} $

По обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 8t + 15 = 0$.

Найдем корни этого уравнения, разложив его на множители: $(t-3)(t-5) = 0$.

Корни уравнения: $t_1 = 3$, $t_2 = 5$.

Следовательно, решениями системы являются пары чисел $(3, 5)$ и $(5, 3)$.

Ответ: $(3, 5), (5, 3)$.