Номер 571, страница 233 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 33. Исследование и решение систем уравнений. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 571, страница 233.

Условие.

571. Участок прямоугольной формы нужно огородить забором длиной 1 км. Каковы должны быть длина и ширина участка, чтобы его площадь была равна 6 га?

Решение 3.

Решение 4.

Пусть длина прямоугольного участка равна a, а ширина — b. Нам необходимо найти значения a и b, зная периметр и площадь участка.

Сначала переведем все данные в единую систему единиц. Удобнее всего использовать метры (м) и квадратные метры (м²).

Длина забора — это периметр P прямоугольника:

$P = 1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$

Площадь участка S дана в гектарах (га). Вспомним, что 1 га равен 10 000 м²:

$S = 6 \text{ га} = 6 \times 10000 \text{ м}^2 = 60000 \text{ м}^2$

Теперь составим систему уравнений, используя формулы периметра и площади прямоугольника:

Уравнение для периметра: $P = 2(a + b) \implies 1000 = 2(a + b)$

Уравнение для площади: $S = a \cdot b \implies 60000 = a \cdot b$

Из уравнения для периметра выразим сумму сторон:

$a + b = \frac{1000}{2}$

$a + b = 500$

Отсюда можно выразить одну сторону через другую, например, $a = 500 - b$.

Подставим это выражение в уравнение для площади:

$(500 - b) \cdot b = 60000$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $Ax^2 + Bx + C = 0$:

$500b - b^2 = 60000$

$b^2 - 500b + 60000 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D = B^2 - 4AC$:

$D = (-500)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 60000 = 250000 - 240000 = 10000$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{10000} = 100$.

Теперь найдем корни уравнения, которые будут соответствовать возможным значениям одной из сторон:

$b_1 = \frac{-(-500) + 100}{2 \cdot 1} = \frac{600}{2} = 300$

$b_2 = \frac{-(-500) - 100}{2 \cdot 1} = \frac{400}{2} = 200$

Мы получили два возможных значения для сторон: 300 м и 200 м. Если одна сторона (например, ширина b) равна 200 м, то вторая (длина a) будет равна $a = 500 - 200 = 300 \text{ м}$. Если же ширина равна 300 м, то длина будет $a = 500 - 300 = 200 \text{ м}$. В любом случае, стороны участка равны 200 м и 300 м.

Проверим найденные значения. Периметр: $2 \cdot (300 + 200) = 2 \cdot 500 = 1000 \text{ м} = 1 \text{ км}$. Площадь: $300 \cdot 200 = 60000 \text{ м}^2 = 6 \text{ га}$. Условия задачи выполнены.

Ответ: длина и ширина участка должны быть 300 м и 200 м.