Страница 233 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

563. 1) $ \begin{cases} x - y = 7, \\ x^2 - y^2 = 14; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} x + y = 3, \\ x^2 - y^2 = 15; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} x^2 - y^2 = 24, \\ x + y = 4; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} x^2 - y^2 = 8, \\ x - y = 2. \end{cases} $

1) Дана система уравнений:

$\begin{cases} x - y = 7 \\ x^2 - y^2 = 14 \end{cases}$

Во втором уравнении используем формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Тогда второе уравнение примет вид: $(x - y)(x + y) = 14$.

Из первого уравнения мы знаем, что $x - y = 7$. Подставим это значение во второе уравнение:

$7 \cdot (x + y) = 14$

Отсюда находим $x + y$:

$x + y = \frac{14}{7} = 2$

Теперь у нас есть новая, более простая система линейных уравнений:

$\begin{cases} x - y = 7 \\ x + y = 2 \end{cases}$

Сложим два уравнения системы:

$(x - y) + (x + y) = 7 + 2$

$2x = 9$

$x = \frac{9}{2} = 4.5$

Подставим найденное значение $x$ в уравнение $x + y = 2$:

$4.5 + y = 2$

$y = 2 - 4.5 = -2.5$

Ответ: $(4.5; -2.5)$

2) Дана система уравнений:

$\begin{cases} x + y = 3 \\ x^2 - y^2 = 15 \end{cases}$

Во втором уравнении используем формулу разности квадратов: $(x - y)(x + y) = 15$.

Из первого уравнения известно, что $x + y = 3$. Подставим это значение во второе уравнение:

$(x - y) \cdot 3 = 15$

Отсюда находим $x - y$:

$x - y = \frac{15}{3} = 5$

Получаем систему линейных уравнений:

$\begin{cases} x + y = 3 \\ x - y = 5 \end{cases}$

Сложим два уравнения системы:

$(x + y) + (x - y) = 3 + 5$

$2x = 8$

$x = \frac{8}{2} = 4$

Подставим найденное значение $x$ в уравнение $x + y = 3$:

$4 + y = 3$

$y = 3 - 4 = -1$

Ответ: $(4; -1)$

3) Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = 24 \\ x + y = 4 \end{cases}$

В первом уравнении используем формулу разности квадратов: $(x - y)(x + y) = 24$.

Из второго уравнения известно, что $x + y = 4$. Подставим это значение в первое уравнение:

$(x - y) \cdot 4 = 24$

Отсюда находим $x - y$:

$x - y = \frac{24}{4} = 6$

Получаем систему линейных уравнений:

$\begin{cases} x + y = 4 \\ x - y = 6 \end{cases}$

Сложим два уравнения системы:

$(x + y) + (x - y) = 4 + 6$

$2x = 10$

$x = \frac{10}{2} = 5$

Подставим найденное значение $x$ в уравнение $x + y = 4$:

$5 + y = 4$

$y = 4 - 5 = -1$

Ответ: $(5; -1)$

4) Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = 8 \\ x - y = 2 \end{cases}$

В первом уравнении используем формулу разности квадратов: $(x - y)(x + y) = 8$.

Из второго уравнения известно, что $x - y = 2$. Подставим это значение в первое уравнение:

$2 \cdot (x + y) = 8$

Отсюда находим $x + y$:

$x + y = \frac{8}{2} = 4$

Получаем систему линейных уравнений:

$\begin{cases} x - y = 2 \\ x + y = 4 \end{cases}$

Сложим два уравнения системы:

$(x - y) + (x + y) = 2 + 4$

$2x = 6$

$x = \frac{6}{2} = 3$

Подставим найденное значение $x$ в уравнение $x + y = 4$:

$3 + y = 4$

$y = 4 - 3 = 1$

Ответ: $(3; 1)$

564. 1) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 17, \\ xy = 4; \end{cases}$

2) $\begin{cases} xy = 10, \\ x^2 + y^2 = 29; \end{cases}$

3) $\begin{cases} xy = 3, \\ x^2 + y^2 = 10; \end{cases}$

4) $\begin{cases} xy = 5, \\ x^2 + y^2 = 26. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 17, \\ xy = 4. \end{cases} $

Для решения этой симметрической системы уравнений воспользуемся тождеством $(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$.

Подставим значения из уравнений системы:

$(x+y)^2 = 17 + 2 \cdot 4 = 17 + 8 = 25$.

Из этого следует, что $x+y = 5$ или $x+y = -5$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $x+y = 5$ и $xy = 4$.

Согласно обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 5t + 4 = 0$.

Корни этого уравнения: $t_1 = 1$, $t_2 = 4$.

Таким образом, получаем две пары решений: $(1, 4)$ и $(4, 1)$.

Случай 2: $x+y = -5$ и $xy = 4$.

В этом случае $x$ и $y$ являются корнями уравнения $t^2 - (-5)t + 4 = 0$, то есть $t^2 + 5t + 4 = 0$.

Корни этого уравнения: $t_1 = -1$, $t_2 = -4$.

Это дает нам еще две пары решений: $(-1, -4)$ и $(-4, -1)$.

Ответ: $(1, 4), (4, 1), (-1, -4), (-4, -1)$.

2)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} xy = 10, \\ x^2 + y^2 = 29. \end{cases} $

Найдем сумму $(x+y)^2$, используя тождество $(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$.

Подставляем значения из системы: $(x+y)^2 = 29 + 2 \cdot 10 = 29 + 20 = 49$.

Отсюда $x+y = 7$ или $x+y = -7$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $x+y = 7$ и $xy = 10$.

$x$ и $y$ — корни квадратного уравнения $t^2 - 7t + 10 = 0$.

Корни: $t_1 = 2$, $t_2 = 5$.

Пары решений: $(2, 5)$ и $(5, 2)$.

Случай 2: $x+y = -7$ и $xy = 10$.

$x$ и $y$ — корни уравнения $t^2 - (-7)t + 10 = 0$, то есть $t^2 + 7t + 10 = 0$.

Корни: $t_1 = -2$, $t_2 = -5$.

Пары решений: $(-2, -5)$ и $(-5, -2)$.

Ответ: $(2, 5), (5, 2), (-2, -5), (-5, -2)$.

3)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} xy = 3, \\ x^2 + y^2 = 10. \end{cases} $

Используем тождество $(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$.

$(x+y)^2 = 10 + 2 \cdot 3 = 10 + 6 = 16$.

Следовательно, $x+y = 4$ или $x+y = -4$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $x+y = 4$ и $xy = 3$.

$x$ и $y$ являются корнями уравнения $t^2 - 4t + 3 = 0$.

Корни: $t_1 = 1$, $t_2 = 3$.

Решения: $(1, 3)$ и $(3, 1)$.

Случай 2: $x+y = -4$ и $xy = 3$.

$x$ и $y$ являются корнями уравнения $t^2 - (-4)t + 3 = 0$, то есть $t^2 + 4t + 3 = 0$.

Корни: $t_1 = -1$, $t_2 = -3$.

Решения: $(-1, -3)$ и $(-3, -1)$.

Ответ: $(1, 3), (3, 1), (-1, -3), (-3, -1)$.

4)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} xy = 5, \\ x^2 + y^2 = 26. \end{cases} $

Используем тождество $(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$.

$(x+y)^2 = 26 + 2 \cdot 5 = 26 + 10 = 36$.

Отсюда $x+y = 6$ или $x+y = -6$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $x+y = 6$ и $xy = 5$.

$x$ и $y$ — корни уравнения $t^2 - 6t + 5 = 0$.

Корни: $t_1 = 1$, $t_2 = 5$.

Пары решений: $(1, 5)$ и $(5, 1)$.

Случай 2: $x+y = -6$ и $xy = 5$.

$x$ и $y$ — корни уравнения $t^2 - (-6)t + 5 = 0$, то есть $t^2 + 6t + 5 = 0$.

Корни: $t_1 = -1$, $t_2 = -5$.

Пары решений: $(-1, -5)$ и $(-5, -1)$.

Ответ: $(1, 5), (5, 1), (-1, -5), (-5, -1)$.

565. Сумма двух чисел равна 18, а их произведение 65. Найти эти числа.

Обозначим искомые числа как $x$ и $y$.

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений:
1. Сумма чисел равна 18: $x + y = 18$
2. Произведение чисел равно 65: $x \cdot y = 65$

Это классическая задача, которую можно решить с помощью подстановки или используя теорему Виета. Решим методом подстановки.

Выразим переменную $y$ из первого уравнения:
$y = 18 - x$

Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение:
$x \cdot (18 - x) = 65$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:
$18x - x^2 = 65$
$-x^2 + 18x - 65 = 0$
Умножим обе части на -1 для удобства:
$x^2 - 18x + 65 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 65 = 324 - 260 = 64$

Так как дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{18 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{18 + 8}{2} = \frac{26}{2} = 13$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{18 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{18 - 8}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Мы получили два возможных значения для одного из чисел. Теперь найдем второе число для каждого случая:
1. Если $x = 13$, то $y = 18 - x = 18 - 13 = 5$.
2. Если $x = 5$, то $y = 18 - x = 18 - 5 = 13$.

В обоих случаях мы получаем одну и ту же пару чисел: 5 и 13.

Сделаем проверку:
Сумма: $5 + 13 = 18$.
Произведение: $5 \cdot 13 = 65$.
Условия задачи выполняются.

Ответ: 5 и 13.

566. Среднее арифметическое двух чисел равно 20, а их среднее геометрическое 12. Найти эти числа.

Пусть искомые числа — это $a$ и $b$.

Согласно условию, их среднее арифметическое равно 20. Среднее арифметическое двух чисел вычисляется по формуле $ \frac{a+b}{2} $. Составим первое уравнение: $ \frac{a+b}{2} = 20 $

Из этого уравнения можно найти сумму чисел $a$ и $b$: $ a+b = 20 \cdot 2 $
$ a+b = 40 $

Также по условию, среднее геометрическое этих чисел равно 12. Среднее геометрическое двух неотрицательных чисел вычисляется по формуле $ \sqrt{ab} $. Составим второе уравнение: $ \sqrt{ab} = 12 $

Чтобы найти произведение чисел $a$ и $b$, возведем обе части второго уравнения в квадрат: $ (\sqrt{ab})^2 = 12^2 $
$ ab = 144 $

Теперь мы имеем систему из двух уравнений: $ \begin{cases} a+b = 40 \\ ab = 144 \end{cases} $

Эту систему можно решить, воспользовавшись теоремой, обратной теореме Виета. Согласно этой теореме, числа $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения вида $x^2 - (a+b)x + ab = 0$.

Подставим в это уравнение известные нам значения суммы ($40$) и произведения ($144$): $ x^2 - 40x + 144 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $ D = (-40)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 144 = 1600 - 576 = 1024 $

Теперь найдем корни уравнения: $ x_1 = \frac{-(-40) + \sqrt{1024}}{2 \cdot 1} = \frac{40 + 32}{2} = \frac{72}{2} = 36 $
$ x_2 = \frac{-(-40) - \sqrt{1024}}{2 \cdot 1} = \frac{40 - 32}{2} = \frac{8}{2} = 4 $

Следовательно, искомые числа — это 36 и 4.

Выполним проверку:
Среднее арифметическое: $ \frac{36+4}{2} = \frac{40}{2} = 20 $.
Среднее геометрическое: $ \sqrt{36 \times 4} = \sqrt{144} = 12 $.
Оба условия выполняются.

Ответ: 36 и 4.

567. Решить систему уравнений:

1) $\begin{cases} x = 2y - 3; \\ y^2 - 2x = 3; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x + y = 6, \\ xy = -7; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 - y^2 = 21, \\ x + y = 7. \end{cases}$

1) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x = 2y - 3 \\ y^2 - 2x = 3 \end{cases} $
Для решения этой системы воспользуемся методом подстановки. Выражение для $x$ из первого уравнения подставим во второе уравнение:
$ y^2 - 2(2y - 3) = 3 $
Раскроем скобки и преобразуем уравнение в стандартный вид квадратного уравнения:
$ y^2 - 4y + 6 = 3 $
$ y^2 - 4y + 3 = 0 $
Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$. Можно найти корни с помощью дискриминанта или по теореме Виета. Сумма корней равна 4, а их произведение равно 3. Следовательно, корни уравнения:
$ y_1 = 1 $
$ y_2 = 3 $
Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного $y$, используя первое уравнение системы $x = 2y - 3$:
Если $y_1 = 1$, то $x_1 = 2(1) - 3 = 2 - 3 = -1$.
Если $y_2 = 3$, то $x_2 = 2(3) - 3 = 6 - 3 = 3$.
Таким образом, система имеет два решения.
Ответ: $(-1; 1)$, $(3; 3)$.

2) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x + y = 6 \\ xy = -7 \end{cases} $
Эту систему удобно решать методом подстановки. Выразим переменную $y$ из первого уравнения:
$ y = 6 - x $
Подставим это выражение во второе уравнение:
$ x(6 - x) = -7 $
Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$ 6x - x^2 = -7 $
$ x^2 - 6x - 7 = 0 $
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а произведение -7. Отсюда находим корни:
$ x_1 = 7 $
$ x_2 = -1 $
Найдем соответствующие значения $y$, используя выражение $y = 6 - x$:
Если $x_1 = 7$, то $y_1 = 6 - 7 = -1$.
Если $x_2 = -1$, то $y_2 = 6 - (-1) = 6 + 1 = 7$.
Система имеет два решения, которые являются симметричными парами.
Ответ: $(7; -1)$, $(-1; 7)$.

3) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 21 \\ x + y = 7 \end{cases} $
В первом уравнении используем формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
$ (x - y)(x + y) = 21 $
Теперь мы можем подставить значение $x+y$ из второго уравнения ($x+y=7$) в преобразованное первое уравнение:
$ (x - y) \cdot 7 = 21 $
Разделим обе части уравнения на 7, чтобы найти значение выражения $x-y$:
$ x - y = \frac{21}{7} $
$ x - y = 3 $
Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:
$ \begin{cases} x + y = 7 \\ x - y = 3 \end{cases} $
Сложим эти два уравнения, чтобы исключить переменную $y$:
$ (x + y) + (x - y) = 7 + 3 $
$ 2x = 10 $
$ x = 5 $
Подставим найденное значение $x=5$ в любое из уравнений системы, например, в $x+y=7$:
$ 5 + y = 7 $
$ y = 7 - 5 $
$ y = 2 $
Таким образом, найдено единственное решение системы.
Ответ: $(5; 2)$.

Решить систему уравнений (568—570).

568. 1) $\begin{cases} x - y = 2, \\ xy = 3; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x - y = 3, \\ xy = 4; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 2x^2 - y^2 = 46, \\ xy = 10; \end{cases}$

4) $\begin{cases} (x - y)^2 = 4, \\ x + y = 6; \end{cases}$

5) $\begin{cases} x^2 - y^2 = 0, \\ 4 + xy = 0; \end{cases}$

6) $\begin{cases} x + y = 4, \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x - y = 2 \\ xy = 3 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $x$ через $y$:

$x = y + 2$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(y + 2)y = 3$

$y^2 + 2y - 3 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $y$. Решим его, например, по теореме Виета. Сумма корней равна -2, произведение равно -3. Корни: $y_1 = 1$ и $y_2 = -3$.

Найдем соответствующие значения $x$:

Если $y_1 = 1$, то $x_1 = 1 + 2 = 3$. Получаем пару $(3; 1)$.

Если $y_2 = -3$, то $x_2 = -3 + 2 = -1$. Получаем пару $(-1; -3)$.

Ответ: $(3; 1)$, $(-1; -3)$.

2)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x - y = 3 \\ xy = 4 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $x$:

$x = y + 3$

Подставим во второе уравнение:

$(y + 3)y = 4$

$y^2 + 3y - 4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -3, произведение равно -4. Корни: $y_1 = 1$ и $y_2 = -4$.

Найдем соответствующие значения $x$:

Если $y_1 = 1$, то $x_1 = 1 + 3 = 4$. Получаем пару $(4; 1)$.

Если $y_2 = -4$, то $x_2 = -4 + 3 = -1$. Получаем пару $(-1; -4)$.

Ответ: $(4; 1)$, $(-1; -4)$.

3)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 2x^2 - y^2 = 46 \\ xy = 10 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $y$ (заметим, что $x \neq 0$, иначе $xy=0$):

$y = \frac{10}{x}$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$2x^2 - \left(\frac{10}{x}\right)^2 = 46$

$2x^2 - \frac{100}{x^2} = 46$

Умножим обе части уравнения на $x^2$, чтобы избавиться от знаменателя:

$2x^4 - 100 = 46x^2$

$2x^4 - 46x^2 - 100 = 0$

Разделим уравнение на 2: $x^4 - 23x^2 - 50 = 0$.

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = x^2$ (где $t \ge 0$):

$t^2 - 23t - 50 = 0$

Найдем корни по формуле для корней квадратного уравнения:
$D = (-23)^2 - 4(1)(-50) = 529 + 200 = 729 = 27^2$

$t = \frac{23 \pm \sqrt{729}}{2} = \frac{23 \pm 27}{2}$

$t_1 = \frac{23 + 27}{2} = 25$

$t_2 = \frac{23 - 27}{2} = -2$

Так как $t = x^2$, то $t$ не может быть отрицательным, поэтому корень $t_2 = -2$ является посторонним.

Вернемся к замене: $x^2 = 25$, откуда $x_1 = 5$ и $x_2 = -5$.

Найдем соответствующие значения $y$ из $y = \frac{10}{x}$:

Если $x_1 = 5$, то $y_1 = \frac{10}{5} = 2$. Пара $(5; 2)$.

Если $x_2 = -5$, то $y_2 = \frac{10}{-5} = -2$. Пара $(-5; -2)$.

Ответ: $(5; 2)$, $(-5; -2)$.

4)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} (x - y)^2 = 4 \\ x + y = 6 \end{cases}$

Из первого уравнения следует, что $x - y = \sqrt{4}$, то есть $x - y = 2$ или $x - y = -2$.

Это позволяет разбить задачу на две независимые системы линейных уравнений.

Случай 1:

$\begin{cases} x - y = 2 \\ x + y = 6 \end{cases}$

Сложим два уравнения: $(x - y) + (x + y) = 2 + 6 \implies 2x = 8 \implies x = 4$.

Подставим $x = 4$ во второе уравнение: $4 + y = 6 \implies y = 2$.

Получили решение $(4; 2)$.

Случай 2:

$\begin{cases} x - y = -2 \\ x + y = 6 \end{cases}$

Сложим два уравнения: $(x - y) + (x + y) = -2 + 6 \implies 2x = 4 \implies x = 2$.

Подставим $x = 2$ во второе уравнение: $2 + y = 6 \implies y = 4$.

Получили решение $(2; 4)$.

Ответ: $(4; 2)$, $(2; 4)$.

5)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = 0 \\ 4 + xy = 0 \end{cases}$

Первое уравнение можно разложить на множители как разность квадратов:

$(x - y)(x + y) = 0$

Это равенство выполняется, если $x - y = 0$ (то есть $x = y$), либо $x + y = 0$ (то есть $x = -y$).

Рассмотрим оба случая, подставляя их во второе уравнение $4 + xy = 0$.

Случай 1: $x = y$

Подставляем во второе уравнение: $4 + y \cdot y = 0 \implies 4 + y^2 = 0 \implies y^2 = -4$.

Это уравнение не имеет действительных решений.

Случай 2: $x = -y$ (или $y = -x$)

Подставляем во второе уравнение: $4 + x(-x) = 0 \implies 4 - x^2 = 0 \implies x^2 = 4$.

Отсюда $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Найдем соответствующие значения $y$ из соотношения $y = -x$:

Если $x_1 = 2$, то $y_1 = -2$. Пара $(2; -2)$.

Если $x_2 = -2$, то $y_2 = -(-2) = 2$. Пара $(-2; 2)$.

Ответ: $(2; -2)$, $(-2; 2)$.

6)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x + y = 4 \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1 \end{cases}$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0$ и $y \neq 0$.

Преобразуем второе уравнение, приведя дроби к общему знаменателю:

$\frac{y + x}{xy} = 1$

Из первого уравнения известно, что $x + y = 4$. Подставим это значение в преобразованное второе уравнение:

$\frac{4}{xy} = 1$

Отсюда следует, что $xy = 4$.

Таким образом, исходная система равносильна следующей системе:

$\begin{cases} x + y = 4 \\ xy = 4 \end{cases}$

Согласно обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.

Подставим известные значения суммы и произведения корней:

$t^2 - 4t + 4 = 0$

Это уравнение является полным квадратом: $(t-2)^2 = 0$.

Уравнение имеет единственный корень $t = 2$ кратности 2. Следовательно, $x = 2$ и $y = 2$.

Это решение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $(2; 2)$.

569. 1) $\begin{cases} x + xy + y = -1, \\ x - xy + y = 3; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x - xy - y = -7, \\ x + xy - y = 1; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 - y + 2 = 0, \\ x^2 + y^2 - 4 = 0; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x^2 - 3xy + y^2 = 11, \\ xy = 5. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + xy + y = -1 \\ x - xy + y = 3 \end{cases} $

Сложим первое и второе уравнения системы, чтобы избавиться от члена $xy$:

$(x + xy + y) + (x - xy + y) = -1 + 3$

$2x + 2y = 2$

Разделим обе части на 2:

$x + y = 1$

Теперь вычтем второе уравнение из первого:

$(x + xy + y) - (x - xy + y) = -1 - 3$

$2xy = -4$

$xy = -2$

Мы получили новую, более простую систему уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 1 \\ xy = -2 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $y$ через $x$: $y = 1 - x$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$x(1 - x) = -2$

$x - x^2 = -2$

$x^2 - x - 2 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни, например, по теореме Виета: $x_1 \cdot x_2 = -2$ и $x_1 + x_2 = 1$. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня $x$:

Если $x_1 = 2$, то $y_1 = 1 - 2 = -1$.

Если $x_2 = -1$, то $y_2 = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2$.

Таким образом, решениями системы являются две пары чисел.

Ответ: $(2, -1), (-1, 2)$.

2)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x - xy - y = -7 \\ x + xy - y = 1 \end{cases} $

Сложим оба уравнения:

$(x - xy - y) + (x + xy - y) = -7 + 1$

$2x - 2y = -6$

Разделим обе части на 2:

$x - y = -3$

Вычтем первое уравнение из второго:

$(x + xy - y) - (x - xy - y) = 1 - (-7)$

$2xy = 8$

$xy = 4$

Получили систему:

$ \begin{cases} x - y = -3 \\ xy = 4 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $x$: $x = y - 3$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(y - 3)y = 4$

$y^2 - 3y - 4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета: $y_1 \cdot y_2 = -4$ и $y_1 + y_2 = 3$. Корни: $y_1 = 4$ и $y_2 = -1$.

Найдем соответствующие значения $x$:

Если $y_1 = 4$, то $x_1 = 4 - 3 = 1$.

Если $y_2 = -1$, то $x_2 = -1 - 3 = -4$.

Таким образом, решениями системы являются две пары чисел.

Ответ: $(1, 4), (-4, -1)$.

3)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - y + 2 = 0 \\ x^2 + y^2 - 4 = 0 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $x^2$:

$x^2 = y - 2$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(y - 2) + y^2 - 4 = 0$

$y^2 + y - 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета: $y_1 \cdot y_2 = -6$ и $y_1 + y_2 = -1$. Корни: $y_1 = 2$ и $y_2 = -3$.

Теперь найдем значения $x$, соответствующие каждому значению $y$.

Если $y_1 = 2$, то $x^2 = 2 - 2 = 0$. Отсюда $x = 0$. Получаем решение $(0, 2)$.

Если $y_2 = -3$, то $x^2 = -3 - 2 = -5$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Следовательно, система имеет только одно действительное решение.

Ответ: $(0, 2)$.

4)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - 3xy + y^2 = 11 \\ xy = 5 \end{cases} $

Подставим значение $xy = 5$ из второго уравнения в первое:

$x^2 - 3(5) + y^2 = 11$

$x^2 - 15 + y^2 = 11$

$x^2 + y^2 = 11 + 15$

$x^2 + y^2 = 26$

Теперь наша система выглядит так:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 26 \\ xy = 5 \end{cases} $

Эта система является симметрической. Можно использовать формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Подставим известные значения: $(x+y)^2 = (x^2+y^2) + 2(xy) = 26 + 2(5) = 36$.

Из этого следует, что $x+y = \sqrt{36}$ или $x+y = -\sqrt{36}$.

$x+y = 6$ или $x+y = -6$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $x + y = 6$. Вместе с уравнением $xy = 5$ получаем систему: $ \begin{cases} x+y = 6 \\ xy = 5 \end{cases} $.

По теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 6t + 5 = 0$. Его корни $t_1 = 1, t_2 = 5$. Это дает нам две пары решений: $(1, 5)$ и $(5, 1)$.

Случай 2: $x + y = -6$. Вместе с уравнением $xy = 5$ получаем систему: $ \begin{cases} x+y = -6 \\ xy = 5 \end{cases} $.

Аналогично, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (-6)t + 5 = 0$, то есть $t^2 + 6t + 5 = 0$. Его корни $t_3 = -1, t_4 = -5$. Это дает нам еще две пары решений: $(-1, -5)$ и $(-5, -1)$.

Всего система имеет четыре пары решений.

Ответ: $(1, 5), (5, 1), (-1, -5), (-5, -1)$.

570. 1) ${ \begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 8, \\ x - y = 16; \end{cases} }$

2) ${ \begin{cases} \sqrt{x} - \sqrt{y} = 1, \\ x - y = 5. \end{cases} }$

1) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 8 \\ x - y = 16 \end{cases} $

Область допустимых значений (ОДЗ) для данной системы: $x \ge 0$ и $y \ge 0$, так как переменные находятся под знаком квадратного корня.

Рассмотрим второе уравнение системы $x - y = 16$. Поскольку $x$ и $y$ неотрицательны, мы можем представить их как квадраты своих корней: $x = (\sqrt{x})^2$ и $y = (\sqrt{y})^2$. Тогда уравнение примет вид:

$(\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2 = 16$.

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y}) = 16$.

Из первого уравнения системы нам известно, что $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 8$. Подставим это значение в преобразованное второе уравнение:

$(\sqrt{x} - \sqrt{y}) \cdot 8 = 16$.

Разделим обе части уравнения на 8:

$\sqrt{x} - \sqrt{y} = 2$.

Теперь мы получили новую, более простую систему уравнений, эквивалентную исходной (с учетом ОДЗ):

$ \begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 8 \\ \sqrt{x} - \sqrt{y} = 2 \end{cases} $

Сложим эти два уравнения, чтобы найти $\sqrt{x}$:

$(\sqrt{x} + \sqrt{y}) + (\sqrt{x} - \sqrt{y}) = 8 + 2$

$2\sqrt{x} = 10$

$\sqrt{x} = 5$

Возведем обе части в квадрат:

$x = 5^2 = 25$.

Теперь подставим значение $\sqrt{x} = 5$ в первое уравнение новой системы ($\sqrt{x} + \sqrt{y} = 8$), чтобы найти $\sqrt{y}$:

$5 + \sqrt{y} = 8$

$\sqrt{y} = 3$

Возведем обе части в квадрат:

$y = 3^2 = 9$.

Получили решение $(25; 9)$. Проверим его, подставив в исходную систему:

$\sqrt{25} + \sqrt{9} = 5 + 3 = 8$ (верно).

$25 - 9 = 16$ (верно).

Ответ: $x=25, y=9$.

2) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} \sqrt{x} - \sqrt{y} = 1 \\ x - y = 5 \end{cases} $

ОДЗ: $x \ge 0$ и $y \ge 0$.

Как и в предыдущем задании, преобразуем второе уравнение $x - y = 5$, используя тот факт, что $x = (\sqrt{x})^2$ и $y = (\sqrt{y})^2$:

$(\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2 = 5$.

Применим формулу разности квадратов:

$(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y}) = 5$.

Из первого уравнения системы нам дано, что $\sqrt{x} - \sqrt{y} = 1$. Подставим это значение:

$1 \cdot (\sqrt{x} + \sqrt{y}) = 5$

$\sqrt{x} + \sqrt{y} = 5$.

Теперь решим новую систему уравнений:

$ \begin{cases} \sqrt{x} - \sqrt{y} = 1 \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} = 5 \end{cases} $

Сложим эти два уравнения:

$(\sqrt{x} - \sqrt{y}) + (\sqrt{x} + \sqrt{y}) = 1 + 5$

$2\sqrt{x} = 6$

$\sqrt{x} = 3$

Возведем в квадрат:

$x = 3^2 = 9$.

Подставим значение $\sqrt{x} = 3$ в уравнение $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 5$:

$3 + \sqrt{y} = 5$

$\sqrt{y} = 2$

Возведем в квадрат:

$y = 2^2 = 4$.

Получили решение $(9; 4)$. Выполним проверку:

$\sqrt{9} - \sqrt{4} = 3 - 2 = 1$ (верно).

$9 - 4 = 5$ (верно).

Ответ: $x=9, y=4$.

571. Участок прямоугольной формы нужно огородить забором длиной 1 км. Каковы должны быть длина и ширина участка, чтобы его площадь была равна 6 га?

Пусть длина прямоугольного участка равна a, а ширина — b. Нам необходимо найти значения a и b, зная периметр и площадь участка.

Сначала переведем все данные в единую систему единиц. Удобнее всего использовать метры (м) и квадратные метры (м²).

Длина забора — это периметр P прямоугольника:

$P = 1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$

Площадь участка S дана в гектарах (га). Вспомним, что 1 га равен 10 000 м²:

$S = 6 \text{ га} = 6 \times 10000 \text{ м}^2 = 60000 \text{ м}^2$

Теперь составим систему уравнений, используя формулы периметра и площади прямоугольника:

Уравнение для периметра: $P = 2(a + b) \implies 1000 = 2(a + b)$

Уравнение для площади: $S = a \cdot b \implies 60000 = a \cdot b$

Из уравнения для периметра выразим сумму сторон:

$a + b = \frac{1000}{2}$

$a + b = 500$

Отсюда можно выразить одну сторону через другую, например, $a = 500 - b$.

Подставим это выражение в уравнение для площади:

$(500 - b) \cdot b = 60000$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $Ax^2 + Bx + C = 0$:

$500b - b^2 = 60000$

$b^2 - 500b + 60000 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D = B^2 - 4AC$:

$D = (-500)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 60000 = 250000 - 240000 = 10000$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{10000} = 100$.

Теперь найдем корни уравнения, которые будут соответствовать возможным значениям одной из сторон:

$b_1 = \frac{-(-500) + 100}{2 \cdot 1} = \frac{600}{2} = 300$

$b_2 = \frac{-(-500) - 100}{2 \cdot 1} = \frac{400}{2} = 200$

Мы получили два возможных значения для сторон: 300 м и 200 м. Если одна сторона (например, ширина b) равна 200 м, то вторая (длина a) будет равна $a = 500 - 200 = 300 \text{ м}$. Если же ширина равна 300 м, то длина будет $a = 500 - 300 = 200 \text{ м}$. В любом случае, стороны участка равны 200 м и 300 м.

Проверим найденные значения. Периметр: $2 \cdot (300 + 200) = 2 \cdot 500 = 1000 \text{ м} = 1 \text{ км}$. Площадь: $300 \cdot 200 = 60000 \text{ м}^2 = 6 \text{ га}$. Условия задачи выполнены.

Ответ: длина и ширина участка должны быть 300 м и 200 м.

572. При делении двузначного числа на сумму его цифр в частном получается 6, а в остатке 4. При делении этого же числа на произведение его цифр в частном получается 2, а в остатке 16. Найти это число.

Пусть искомое двузначное число можно представить в виде $10a + b$, где $a$ — цифра десятков ($a \in \{1, 2, ..., 9\}$), а $b$ — цифра единиц ($b \in \{0, 1, ..., 9\}$).

Согласно первому условию, при делении этого числа на сумму его цифр ($a+b$) в частном получается 6, а в остатке 4. Это можно записать в виде уравнения, используя формулу деления с остатком (делимое = делитель ⋅ частное + остаток):

$10a + b = 6(a + b) + 4$

При этом остаток всегда должен быть меньше делителя, то есть:

$4 < a + b$

Упростим первое уравнение:

$10a + b = 6a + 6b + 4$
$10a - 6a = 6b - b + 4$
$4a = 5b + 4$
$4a - 4 = 5b$
$4(a - 1) = 5b$

Из этого уравнения следует, что выражение $5b$ должно быть кратно 4. Поскольку число 5 не делится на 4, то цифра $b$ должна быть кратна 4. Возможные значения для $b$: 0, 4, 8.

Рассмотрим каждый из возможных случаев для $b$:

• Если $b = 0$, то $4(a - 1) = 5 \cdot 0 \implies 4(a - 1) = 0 \implies a - 1 = 0 \implies a = 1$. Получается число 10. Проверим для него неравенство $4 < a + b \implies 4 < 1 + 0 \implies 4 < 1$. Это неверно, значит, этот вариант не подходит.
• Если $b = 4$, то $4(a - 1) = 5 \cdot 4 \implies 4(a - 1) = 20 \implies a - 1 = 5 \implies a = 6$. Получается число 64. Проверим для него неравенство $4 < a + b \implies 4 < 6 + 4 \implies 4 < 10$. Это верно. Этот вариант является возможным решением.
• Если $b = 8$, то $4(a - 1) = 5 \cdot 8 \implies 4(a - 1) = 40 \implies a - 1 = 10 \implies a = 11$. Цифра десятков $a$ не может быть двузначным числом, поэтому этот вариант не подходит.

Таким образом, единственное число, удовлетворяющее первому условию, — это 64.

Теперь проверим это число по второму условию задачи. При делении этого же числа (64) на произведение его цифр ($a \cdot b$) в частном получается 2, а в остатке 16.

Произведение цифр числа 64 равно $6 \cdot 4 = 24$.

Составим уравнение для второго условия:

$10a + b = 2(a \cdot b) + 16$

Подставим в него значения $a=6$ и $b=4$:

$64 = 2(6 \cdot 4) + 16$
$64 = 2(24) + 16$
$64 = 48 + 16$
$64 = 64$

Равенство верное. Также проверяем условие для остатка: остаток (16) должен быть меньше делителя (24). $16 < 24$, что также верно.

Оба условия задачи выполняются для числа 64.

Ответ: 64

573. Решить систему уравнений:

1) $\begin{cases} x + y = 5 \\ x^3 + y^3 = 35 \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^3 + y^3 = 152 \\ x^2 - xy + y^2 = 19 \end{cases}$

1) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 5 \\ x^3 + y^3 = 35 \end{cases} $

Воспользуемся формулой суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$.

Также преобразуем выражение $x^2 - xy + y^2$, выделив полный квадрат суммы: $x^2 - xy + y^2 = (x^2 + 2xy + y^2) - 3xy = (x+y)^2 - 3xy$.

Тогда формула суммы кубов примет вид: $x^3 + y^3 = (x+y)((x+y)^2 - 3xy)$.

Подставим известные значения из системы уравнений в это выражение:

$35 = 5 \cdot (5^2 - 3xy)$

Разделим обе части уравнения на 5:

$7 = 25 - 3xy$

Теперь найдем произведение $xy$:

$3xy = 25 - 7$

$3xy = 18$

$xy = 6$

Таким образом, исходная система эквивалентна следующей системе:

$ \begin{cases} x + y = 5 \\ xy = 6 \end{cases} $

Согласно обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$, то есть $t^2 - 5t + 6 = 0$.

Решим это уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 1}{2} = 2$

$t_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 1}{2} = 3$

Следовательно, решениями системы являются пары чисел $(2, 3)$ и $(3, 2)$.

Ответ: $(2, 3), (3, 2)$.

2) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^3 + y^3 = 152 \\ x^2 - xy + y^2 = 19 \end{cases} $

Воспользуемся формулой суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$.

Подставим в эту формулу левые и правые части уравнений из системы:

$152 = (x+y) \cdot 19$

Из этого уравнения найдем значение суммы $x+y$:

$x+y = \frac{152}{19} = 8$

Теперь, когда мы знаем $x+y$, мы можем использовать второе уравнение системы для нахождения $xy$. Преобразуем второе уравнение:

$x^2 - xy + y^2 = (x+y)^2 - 3xy$

Подставим известные значения:

$19 = (8)^2 - 3xy$

$19 = 64 - 3xy$

Найдем произведение $xy$:

$3xy = 64 - 19$

$3xy = 45$

$xy = 15$

Теперь у нас есть простая система:

$ \begin{cases} x + y = 8 \\ xy = 15 \end{cases} $

По обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 8t + 15 = 0$.

Найдем корни этого уравнения, разложив его на множители: $(t-3)(t-5) = 0$.

Корни уравнения: $t_1 = 3$, $t_2 = 5$.

Следовательно, решениями системы являются пары чисел $(3, 5)$ и $(5, 3)$.

Ответ: $(3, 5), (5, 3)$.