Номер 566, страница 233 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 33. Исследование и решение систем уравнений. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 566, страница 233.

Условие.

566. Среднее арифметическое двух чисел равно 20, а их среднее геометрическое 12. Найти эти числа.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Пусть искомые числа — это $a$ и $b$.

Согласно условию, их среднее арифметическое равно 20. Среднее арифметическое двух чисел вычисляется по формуле $ \frac{a+b}{2} $. Составим первое уравнение: $ \frac{a+b}{2} = 20 $

Из этого уравнения можно найти сумму чисел $a$ и $b$: $ a+b = 20 \cdot 2 $
$ a+b = 40 $

Также по условию, среднее геометрическое этих чисел равно 12. Среднее геометрическое двух неотрицательных чисел вычисляется по формуле $ \sqrt{ab} $. Составим второе уравнение: $ \sqrt{ab} = 12 $

Чтобы найти произведение чисел $a$ и $b$, возведем обе части второго уравнения в квадрат: $ (\sqrt{ab})^2 = 12^2 $
$ ab = 144 $

Теперь мы имеем систему из двух уравнений: $ \begin{cases} a+b = 40 \\ ab = 144 \end{cases} $

Эту систему можно решить, воспользовавшись теоремой, обратной теореме Виета. Согласно этой теореме, числа $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения вида $x^2 - (a+b)x + ab = 0$.

Подставим в это уравнение известные нам значения суммы ($40$) и произведения ($144$): $ x^2 - 40x + 144 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $ D = (-40)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 144 = 1600 - 576 = 1024 $

Теперь найдем корни уравнения: $ x_1 = \frac{-(-40) + \sqrt{1024}}{2 \cdot 1} = \frac{40 + 32}{2} = \frac{72}{2} = 36 $
$ x_2 = \frac{-(-40) - \sqrt{1024}}{2 \cdot 1} = \frac{40 - 32}{2} = \frac{8}{2} = 4 $

Следовательно, искомые числа — это 36 и 4.

Выполним проверку:
Среднее арифметическое: $ \frac{36+4}{2} = \frac{40}{2} = 20 $.
Среднее геометрическое: $ \sqrt{36 \times 4} = \sqrt{144} = 12 $.
Оба условия выполняются.

Ответ: 36 и 4.