Номер 559, страница 232 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 33. Исследование и решение систем уравнений. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 559, страница 232.

Условие.

559. Выяснить, сколько решений имеет система уравнений:

1) $\begin{cases} 5x + 20y = 4, \\ 0.25x + y = 0.2; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \frac{1}{3}x - y = 0.6, \\ x - 3y = 2; \end{cases}$

3) $\begin{cases} \frac{3}{8}x - y = -11, \\ \frac{3}{8}y - x = 11. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 4.

Чтобы определить количество решений системы линейных уравнений вида $ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $, можно проанализировать соотношения коэффициентов при переменных и свободных членов.

• Если $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$, система имеет одно единственное решение (графики уравнений — пересекающиеся прямые).
• Если $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$, система не имеет решений (графики — параллельные прямые).
• Если $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$, система имеет бесконечно много решений (графики — совпадающие прямые).

1) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 5x + 20y = 4 \\ 0,25x + y = 0,2 \end{cases} $

Определим коэффициенты для каждого уравнения:

$a_1 = 5, b_1 = 20, c_1 = 4$

$a_2 = 0,25, b_2 = 1, c_2 = 0,2$

Теперь найдем отношения этих коэффициентов:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{5}{0,25} = \frac{5}{1/4} = 5 \cdot 4 = 20$

$\frac{b_1}{b_2} = \frac{20}{1} = 20$

$\frac{c_1}{c_2} = \frac{4}{0,2} = \frac{4}{2/10} = \frac{4}{1/5} = 4 \cdot 5 = 20$

Поскольку все три отношения равны ($\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$), уравнения в системе эквивалентны и описывают одну и ту же прямую. Это означает, что любая точка на этой прямой является решением.

Ответ: бесконечно много решений.

2) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{1}{3}x - y = 0,6 \\ x - 3y = 2 \end{cases} $

Определим коэффициенты:

$a_1 = \frac{1}{3}, b_1 = -1, c_1 = 0,6$

$a_2 = 1, b_2 = -3, c_2 = 2$

Найдем отношения коэффициентов:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1/3}{1} = \frac{1}{3}$

$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}$

$\frac{c_1}{c_2} = \frac{0,6}{2} = 0,3 = \frac{3}{10}$

Здесь отношения коэффициентов при переменных равны, но не равны отношению свободных членов: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ (так как $\frac{1}{3} \approx 0,333...$, а $\frac{3}{10} = 0,3$). Это условие соответствует параллельным прямым, которые никогда не пересекаются.

Ответ: нет решений.

3) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{3}{8}x - y = -11 \\ \frac{3}{8}y - x = 11 \end{cases} $

Для удобства анализа приведем второе уравнение к стандартному виду $ax + by = c$, поменяв местами слагаемые в левой части:

$-x + \frac{3}{8}y = 11$

Система принимает вид:

$ \begin{cases} \frac{3}{8}x - y = -11 \\ -x + \frac{3}{8}y = 11 \end{cases} $

Определим коэффициенты:

$a_1 = \frac{3}{8}, b_1 = -1, c_1 = -11$

$a_2 = -1, b_2 = \frac{3}{8}, c_2 = 11$

Найдем отношения коэффициентов при переменных:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{3/8}{-1} = -\frac{3}{8}$

$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-1}{3/8} = -1 \cdot \frac{8}{3} = -\frac{8}{3}$

Так как отношения коэффициентов при переменных не равны ($\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$), графики уравнений являются прямыми, пересекающимися в одной точке.

Ответ: одно решение.