Номер 4, страница 231 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 33. Исследование и решение систем уравнений. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 4, страница 231.

Условие.

4. Указать два способа решения системы уравнений $\begin{cases} x+y=4, \\ xy=-12. \end{cases}$

Решение 4.

Способ 1

Применим метод подстановки. Из первого уравнения системы $x + y = 4$ выразим одну переменную через другую, например, $x$:

$x = 4 - y$.

Теперь подставим это выражение во второе уравнение системы $xy = -12$:

$(4 - y)y = -12$.

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$4y - y^2 = -12$

$y^2 - 4y - 12 = 0$.

Для решения этого квадратного уравнения найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64$.

Теперь найдем корни уравнения для $y$ по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$y_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 8}{2} = 6$.

$y_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 8}{2} = -2$.

Найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного $y$, используя подстановку $x = 4 - y$:

Если $y_1 = 6$, то $x_1 = 4 - 6 = -2$.

Если $y_2 = -2$, то $x_2 = 4 - (-2) = 6$.

Таким образом, система имеет два решения в виде пар чисел.

Ответ: $(-2; 6), (6; -2)$.

Способ 2

Воспользуемся теоремой, обратной теореме Виета. Согласно этой теореме, если известны сумма $x+y$ и произведение $xy$ двух чисел, то эти числа являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.

В нашей системе уравнений дано:

$$ \begin{cases} x + y = 4, \\ xy = -12. \end{cases} $$

Составим соответствующее квадратное уравнение, подставив в общую формулу $t^2 - (x+y)t + xy = 0$ данные значения:

$t^2 - 4t - 12 = 0$.

Корни этого уравнения можно найти по теореме Виета (сумма корней равна коэффициенту при $t$, взятому с противоположным знаком, то есть 4, а произведение корней равно свободному члену, то есть -12) или через дискриминант, как в первом способе. Подбором находим корни 6 и -2, так как:

$6 + (-2) = 4$

$6 \cdot (-2) = -12$.

Следовательно, корнями уравнения являются $t_1 = 6$ и $t_2 = -2$.

Эти корни и есть искомые значения переменных $x$ и $y$. Так как система симметрична относительно $x$ и $y$ (то есть при замене $x$ на $y$ и $y$ на $x$ уравнения не изменятся), то решениями являются две пары чисел.

Ответ: $(6; -2), (-2; 6)$.