Номер 557, страница 225 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 32. Решение задач с помощью квадратных уравнений. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 557, страница 225.

Условие.

557. Рабочий положил на хранение в банк 50 000 р. По истечении года к его вкладу были причислены процентные деньги, и в то же время он увеличил свой вклад ещё на 50 000 р., а по истечении ещё одного года попросил выдать ему накопленные процентные деньги. Сколько процентов в год начисляет банк, если рабочий получил 12 320 р. процентных денег, оставив вклад в 100 000 р. на новый срок?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения задачи введем обозначения:

• $S_0 = 50000$ р. — первоначальный вклад.

• $p$ — годовая процентная ставка банка, которую нам нужно найти.

• $k = 1 + \frac{p}{100}$ — коэффициент, на который увеличивается сумма вклада за год.

Распишем состояние счета по годам.

1. Конец первого года:

На первоначальный вклад $S_0$ начисляются проценты. Сумма на счете становится равной:

$S_1 = S_0 \cdot k = 50000k$

После этого рабочий пополняет вклад еще на 50 000 р. Сумма на счете в начале второго года составляет:

$S_2 = S_1 + 50000 = 50000k + 50000 = 50000(k+1)$

2. Конец второго года:

В течение второго года проценты начисляются уже на сумму $S_2$. Итоговая сумма на счете через два года составит:

$S_{финал} = S_2 \cdot k = 50000(k+1) \cdot k = 50000(k^2+k)$

3. Анализ итоговой суммы по условию задачи:

По условию, рабочий снял накопленные процентные деньги в размере 12 320 р., оставив на счете вклад в размере 100 000 р. (сумма его первоначальных вложений: 50 000 + 50 000). Это означает, что общая сумма на счете до снятия процентов была равна сумме оставшегося вклада и снятых процентов:

$S_{финал} = 100000 + 12320 = 112320$ р.

4. Составление и решение уравнения:

Теперь мы можем приравнять два выражения для итоговой суммы $S_{финал}$:

$50000(k^2+k) = 112320$

Разделим обе части уравнения на 10 для упрощения:

$5000(k^2+k) = 11232$

Заметим, что обе части делятся на 8:

$625(k^2+k) = 1404$

Раскроем скобки и перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$625k^2 + 625k - 1404 = 0$

Решим это уравнение относительно $k$ с помощью формулы корней квадратного уравнения $k = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$:

$a = 625, b = 625, c = -1404$

Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 625^2 - 4 \cdot 625 \cdot (-1404) = 625 \cdot (625 + 4 \cdot 1404) = 625 \cdot (625 + 5616) = 625 \cdot 6241$

Найдем корень из дискриминанта:

$\sqrt{D} = \sqrt{625 \cdot 6241} = \sqrt{625} \cdot \sqrt{6241} = 25 \cdot 79 = 1975$

Теперь найдем корни уравнения:

$k_1 = \frac{-625 + 1975}{2 \cdot 625} = \frac{1350}{1250} = \frac{135}{125} = \frac{27}{5 \cdot 5} = \frac{27}{25} = 1.08$

$k_2 = \frac{-625 - 1975}{2 \cdot 625} = \frac{-2600}{1250} < 0$

Поскольку процентная ставка не может быть отрицательной, коэффициент $k$ должен быть больше 1. Следовательно, нам подходит только корень $k = 1.08$.

5. Нахождение процентной ставки:

Зная коэффициент $k$, найдем процентную ставку $p$:

$k = 1 + \frac{p}{100}$

$1.08 = 1 + \frac{p}{100}$

$\frac{p}{100} = 1.08 - 1 = 0.08$

$p = 0.08 \cdot 100 = 8$

Таким образом, банк начисляет 8% в год.

Проверка:

1. В конце 1-го года: $50000 \cdot 1.08 = 54000$ р. Проценты за 1-й год: 4000 р.

2. Сумма на начало 2-го года: $54000 + 50000 = 104000$ р.

3. В конце 2-го года: $104000 \cdot 1.08 = 112320$ р. Проценты за 2-й год: $112320 - 104000 = 8320$ р.

4. Общая сумма процентов за два года: $4000 + 8320 = 12320$ р. Это соответствует условию задачи.

Ответ: 8%.