Номер 558, страница 225 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 32. Решение задач с помощью квадратных уравнений. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 558, страница 225.

Условие.

558. Два раствора, из которых первый содержит 0,8 кг, а второй — 0,6 кг безводной серной кислоты, соединили вместе и получили 10 кг нового раствора серной кислоты. Найти массу первого и второго растворов в смеси, если известно, что концентрация серной кислоты в первом растворе была на 10% больше, чем во втором.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Пусть $m_1$ и $m_2$ — массы первого и второго растворов соответственно, в килограммах. По условию задачи, два раствора соединили вместе и получили 10 кг нового раствора. Это означает, что сумма масс исходных растворов равна 10 кг. Составим первое уравнение:

$m_1 + m_2 = 10$

Концентрация вещества в растворе — это отношение массы чистого вещества к массе всего раствора. Масса безводной серной кислоты в первом растворе составляет 0,8 кг, а во втором — 0,6 кг. Тогда концентрация первого раствора ($C_1$) и второго раствора ($C_2$) выражаются формулами:

$C_1 = \frac{0.8}{m_1}$

$C_2 = \frac{0.6}{m_2}$

Известно, что концентрация серной кислоты в первом растворе была на 10% больше, чем во втором. 10% в виде десятичной дроби — это 0,1. Таким образом, получаем второе уравнение:

$C_1 = C_2 + 0.1$

Подставим выражения для концентраций в это уравнение:

$\frac{0.8}{m_1} = \frac{0.6}{m_2} + 0.1$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} m_1 + m_2 = 10 \\ \frac{0.8}{m_1} = \frac{0.6}{m_2} + 0.1 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $m_2$:

$m_2 = 10 - m_1$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$\frac{0.8}{m_1} = \frac{0.6}{10 - m_1} + 0.1$

Решим полученное уравнение относительно $m_1$. Для этого умножим обе части уравнения на общий знаменатель $m_1(10 - m_1)$, учитывая, что $m_1 \ne 0$ и $m_1 \ne 10$:

$0.8 \cdot (10 - m_1) = 0.6 \cdot m_1 + 0.1 \cdot m_1 \cdot (10 - m_1)$

Раскроем скобки:

$8 - 0.8m_1 = 0.6m_1 + m_1 - 0.1m_1^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$0.1m_1^2 - 0.8m_1 - 0.6m_1 - m_1 + 8 = 0$

$0.1m_1^2 - 2.4m_1 + 8 = 0$

Умножим уравнение на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$m_1^2 - 24m_1 + 80 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 80 = 576 - 320 = 256$

$\sqrt{D} = \sqrt{256} = 16$

Найдем корни уравнения:

$m_{1,1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{24 + 16}{2 \cdot 1} = \frac{40}{2} = 20$

$m_{1,2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{24 - 16}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4$

Получили два возможных значения для массы первого раствора. Проверим их. По условию, общая масса смеси равна 10 кг, значит, масса каждого из исходных растворов должна быть меньше 10 кг. Корень $m_1 = 20$ не удовлетворяет условию задачи, так как $20 > 10$. Следовательно, масса первого раствора равна $m_1 = 4$ кг.

Теперь найдем массу второго раствора:

$m_2 = 10 - m_1 = 10 - 4 = 6$ кг.

Проверим условие с концентрациями:

$C_1 = \frac{0.8}{4} = 0.2$ (или 20%)

$C_2 = \frac{0.6}{6} = 0.1$ (или 10%)

$C_1 - C_2 = 0.2 - 0.1 = 0.1$, что соответствует 10%. Условие выполнено.

Ответ: масса первого раствора — 4 кг, масса второго раствора — 6 кг.