Номер 3, страница 231 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 33. Исследование и решение систем уравнений. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 3, страница 231.

Условие.

3. На основании каких свойств уравнений и способов решения систем уравнений можно решить систему:

1) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 13, \\ xy = -6; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} x^2 - y^2 = 11, \\ x + y = -1; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} x - y = 3, \\ xy = 88? \end{cases} $

Решение 4.

1)Для решения системы $\begin{cases}x^2 + y^2 = 13 \\xy = -6\end{cases}$ можно применить способ, основанный на использовании формул сокращенного умножения. Данная система является симметрической, так как уравнения не изменятся, если поменять местами $x$ и $y$.

Воспользуемся формулой квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. Мы можем выразить $x^2+y^2$ как $(x+y)^2 - 2xy$. Однако, удобнее будет преобразовать систему для нахождения $x+y$.Умножим второе уравнение системы на 2 (это равносильное преобразование): $2xy = -12$.Теперь сложим полученное уравнение с первым уравнением системы (метод алгебраического сложения):$(x^2 + y^2) + (2xy) = 13 + (-12)$$x^2 + 2xy + y^2 = 1$$(x+y)^2 = 1$Из этого уравнения следует, что $x+y=1$ или $x+y=-1$.

Таким образом, решение исходной системы сводится к решению двух более простых систем уравнений.

А) $\begin{cases}x+y = 1 \\xy = -6\end{cases}$
По теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - t - 6 = 0$. Корни этого уравнения: $t_1=3$ и $t_2=-2$. Это дает нам две пары решений: $(3; -2)$ и $(-2; 3)$.

Б) $\begin{cases}x+y = -1 \\xy = -6\end{cases}$
Аналогично, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (-1)t - 6 = 0$, то есть $t^2 + t - 6 = 0$. Корни этого уравнения: $t_1=-3$ и $t_2=2$. Это дает нам еще две пары решений: $(-3; 2)$ и $(2; -3)$.

Итак, для решения были использованы: свойство умножения уравнения на число, метод алгебраического сложения уравнений, формула квадрата суммы и теорема, обратная теореме Виета.
Ответ: $(3; -2)$, $(-2; 3)$, $(-3; 2)$, $(2; -3)$.

2)Для решения системы $\begin{cases}x^2 - y^2 = 11 \\x + y = -1\end{cases}$ целесообразно использовать свойство разложения на множители, применив формулу разности квадратов в первом уравнении: $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.

Преобразуем первое уравнение: $(x-y)(x+y) = 11$.

Теперь применим способ подстановки. Из второго уравнения системы мы знаем, что $x+y = -1$. Подставим это значение в преобразованное первое уравнение:$(x-y) \cdot (-1) = 11$.Разделим обе части уравнения на -1:$x-y = -11$.

В результате исходная система свелась к равносильной ей системе линейных уравнений:$\begin{cases}x + y = -1 \\x - y = -11\end{cases}$

Решим эту систему способом алгебраического сложения. Сложим почленно левые и правые части уравнений:$(x+y) + (x-y) = -1 + (-11)$$2x = -12$$x = -6$.

Подставим найденное значение $x$ в уравнение $x+y = -1$:$-6 + y = -1$$y = 5$.

Для решения были использованы: формула разности квадратов, способ подстановки и способ алгебраического сложения.
Ответ: $(-6; 5)$.

3)Систему $\begin{cases}x - y = 3 \\xy = 88\end{cases}$ наиболее рационально решать способом подстановки.

Из первого уравнения выразим переменную $x$ через $y$. Это преобразование основано на свойстве переноса слагаемых из одной части уравнения в другую с изменением знака:$x = 3 + y$.

Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение системы:$(3+y) \cdot y = 88$.

Раскроем скобки и приведём уравнение к стандартному квадратному виду:$y^2 + 3y = 88$$y^2 + 3y - 88 = 0$.

Мы получили квадратное уравнение, которое решается с помощью дискриминанта.$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-88) = 9 + 352 = 361 = 19^2$.Находим корни:
$y_1 = \frac{-3 - 19}{2} = \frac{-22}{2} = -11$.
$y_2 = \frac{-3 + 19}{2} = \frac{16}{2} = 8$.

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного $y$, используя формулу $x = 3+y$:
Если $y_1 = -11$, то $x_1 = 3 + (-11) = -8$.
Если $y_2 = 8$, то $x_2 = 3 + 8 = 11$.

Таким образом, система была решена с помощью способа подстановки, который свёл её к одному квадратному уравнению.
Ответ: $(11; 8)$, $(-8; -11)$.