Номер 2, страница 231 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 33. Исследование и решение систем уравнений. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 2, страница 231.

Условие.

2. Как определить число решений системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными?

Решение 4.

Для определения числа решений системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными вида:

$$ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $$

необходимо проанализировать соотношение их коэффициентов $a_1, b_1, c_1$ и $a_2, b_2, c_2$. Каждое уравнение в системе описывает прямую на плоскости, и число решений системы соответствует количеству точек пересечения этих прямых. Существует три возможных варианта.

Случай 1: Система имеет одно решение

Это происходит, когда прямые, являющиеся графиками уравнений, пересекаются в одной-единственной точке. Такое возможно, если угловые коэффициенты прямых не равны. Алгебраически это условие выражается через неравенство отношений коэффициентов при соответствующих переменных.

Условие для единственного решения: отношение коэффициентов при $x$ не равно отношению коэффициентов при $y$.
Ответ: система имеет одно решение, если $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$.

Случай 2: Система не имеет решений

Это происходит, когда прямые параллельны и не совпадают, то есть не имеют ни одной общей точки. У таких прямых равны угловые коэффициенты, но они по-разному смещены относительно начала координат. Алгебраически это означает, что отношения коэффициентов при переменных $x$ и $y$ равны, но не равны отношению свободных членов.

Условие отсутствия решений: отношения коэффициентов при $x$ и $y$ равны, но отличаются от отношения свободных членов.
Ответ: система не имеет решений, если $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$.

Случай 3: Система имеет бесконечно много решений

Это происходит, когда прямые совпадают, то есть все их точки являются общими. В этом случае одно уравнение системы можно получить из другого умножением на ненулевой множитель, то есть уравнения пропорциональны. Алгебраически это означает, что отношения коэффициентов при $x$, при $y$ и свободных членов равны между собой.

Условие для бесконечного числа решений: все три отношения равны.
Ответ: система имеет бесконечно много решений, если $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$.