Номер 555, страница 224 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 32. Решение задач с помощью квадратных уравнений. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 555, страница 224.

Условие.

555. На середине пути между станциями A и B поезд был задержан на 10 мин. Чтобы прибыть в B по расписанию, машинисту пришлось первоначальную скорость поезда увеличить на 12 км/ч. Найти первоначальную скорость поезда, если известно, что расстояние между станциями равно 120 км.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Пусть первоначальная скорость поезда равна $v$ км/ч. Общее расстояние между станциями А и В составляет 120 км. Поезд был задержан на середине пути, то есть после того, как проехал расстояние $S_1 = 120 / 2 = 60$ км. Оставшаяся часть пути, которую поезду предстояло проехать, также равна $S_2 = 60$ км. Задержка составила 10 минут, что в часах составляет $t_{задержки} = \frac{10}{60} = \frac{1}{6}$ часа.

Чтобы прибыть в пункт В по расписанию, машинисту пришлось увеличить скорость на 12 км/ч. Таким образом, скорость на второй половине пути составила $(v + 12)$ км/ч. Это означает, что время, сэкономленное на втором участке пути, должно быть равно времени задержки.

Время, которое поезд потратил бы на вторую половину пути по расписанию (с первоначальной скоростью $v$), равно $t_1 = \frac{S_2}{v} = \frac{60}{v}$ ч.

Фактическое время, затраченное на вторую половину пути (с увеличенной скоростью), равно $t_2 = \frac{S_2}{v+12} = \frac{60}{v+12}$ ч.

Разница между плановым и фактическим временем прохождения второго участка должна компенсировать задержку:$t_1 - t_2 = t_{задержки}$$\frac{60}{v} - \frac{60}{v+12} = \frac{1}{6}$

Для решения этого уравнения приведем левую часть к общему знаменателю $v(v+12)$:$\frac{60(v+12) - 60v}{v(v+12)} = \frac{1}{6}$$\frac{60v + 720 - 60v}{v^2 + 12v} = \frac{1}{6}$$\frac{720}{v^2 + 12v} = \frac{1}{6}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):$v^2 + 12v = 720 \cdot 6$$v^2 + 12v = 4320$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:$v^2 + 12v - 4320 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант $D$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$:$D = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4320) = 144 + 17280 = 17424$

Найдем корни уравнения по формуле $v_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:$\sqrt{D} = \sqrt{17424} = 132$$v_1 = \frac{-12 + 132}{2} = \frac{120}{2} = 60$$v_2 = \frac{-12 - 132}{2} = \frac{-144}{2} = -72$

Поскольку скорость не может быть отрицательной величиной, корень $v_2 = -72$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, первоначальная скорость поезда составляет 60 км/ч.

Ответ: 60 км/ч.