Номер 551, страница 224 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 32. Решение задач с помощью квадратных уравнений. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 551, страница 224.

Условие.

551. Площадь прямоугольного треугольника равна 180 см$^2$. Найти катеты этого треугольника, если один больше другого на 31 см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется как половина произведения его катетов. Формула площади $S$ с катетами $a$ и $b$ выглядит так:
$S = \frac{1}{2}ab$

По условию задачи, площадь $S = 180$ см², и один катет больше другого на 31 см.

Обозначим длину меньшего катета как $x$ см. Тогда длина большего катета будет $(x + 31)$ см.

Подставим эти значения в формулу площади:
$180 = \frac{1}{2} \cdot x \cdot (x + 31)$

Чтобы решить это уравнение, сначала умножим обе его части на 2:
$360 = x(x + 31)$

Теперь раскроем скобки:
$360 = x^2 + 31x$

Перенесем все в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 + 31x - 360 = 0$

Для решения этого уравнения найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 31^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-360) = 961 + 1440 = 2401$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-31 + \sqrt{2401}}{2 \cdot 1} = \frac{-31 + 49}{2} = \frac{18}{2} = 9$
$x_2 = \frac{-31 - \sqrt{2401}}{2 \cdot 1} = \frac{-31 - 49}{2} = \frac{-80}{2} = -40$

Так как длина стороны треугольника не может быть отрицательной, значение $x_2 = -40$ нам не подходит.
Следовательно, длина меньшего катета равна 9 см.

Теперь найдем длину второго, большего катета:
$x + 31 = 9 + 31 = 40$ см.

Ответ: катеты этого треугольника равны 9 см и 40 см.