Номер 544, страница 223 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 32. Решение задач с помощью квадратных уравнений. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 544, страница 223.

Условие.

544. Найти два последовательных нечётных натуральных числа, если их произведение равно:

1) $255$;

2) $399$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Обозначим первое нечётное натуральное число через $n$. Поскольку искомые числа являются последовательными нечётными, второе число будет равно $n + 2$. По условию задачи, их произведение известно. Составим и решим уравнение для каждого из случаев.

1)

Произведение чисел равно 255. Составим уравнение:
$n \cdot (n + 2) = 255$
Раскроем скобки и приведём уравнение к стандартному виду квадратного уравнения:
$n^2 + 2n - 255 = 0$
Решим это уравнение с помощью дискриминанта.
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-255) = 4 + 1020 = 1024$
$\sqrt{D} = \sqrt{1024} = 32$
Теперь найдём корни уравнения:
$n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 32}{2} = \frac{30}{2} = 15$
$n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 32}{2} = \frac{-34}{2} = -17$
Поскольку в задаче речь идёт о натуральных числах, корень $n_2 = -17$ не является решением.
Следовательно, первое искомое число равно 15.
Второе число равно $n + 2 = 15 + 2 = 17$.
Проверим произведение: $15 \cdot 17 = 255$.
Ответ: 15 и 17.

2)

Произведение чисел равно 399. Составим уравнение по аналогии с предыдущим пунктом:
$n \cdot (n + 2) = 399$
Раскроем скобки и приведём уравнение к стандартному виду:
$n^2 + 2n - 399 = 0$
Найдём корни этого квадратного уравнения через дискриминант.
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-399) = 4 + 1596 = 1600$
$\sqrt{D} = \sqrt{1600} = 40$
Теперь найдём корни уравнения:
$n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 40}{2} = \frac{38}{2} = 19$
$n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 40}{2} = \frac{-42}{2} = -21$
Корень $n_2 = -21$ не является натуральным числом, поэтому он нам не подходит.
Значит, первое искомое число равно 19.
Второе число равно $n + 2 = 19 + 2 = 21$.
Проверим произведение: $19 \cdot 21 = 399$.
Ответ: 19 и 21.