Номер 4, страница 223 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Вводные упражнения. Параграф 32. Решение задач с помощью квадратных уравнений. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 4, страница 223.

Условие.

4. Рабочий может выполнить весь объём работы за $x$ ч, а его ученик — за $y$ ч. Записать выражение для нахождения времени, за которое весь объём работы выполнят рабочий и его ученик, если будут работать совместно.

Решение 4.

Для решения задачи введем понятие производительности труда — это часть работы, выполняемая за единицу времени (в данном случае, за 1 час). Весь объём работы примем за 1.

1. Определим производительность рабочего.
Если рабочий выполняет всю работу за $x$ часов, то его производительность (скорость работы) составляет $\frac{1}{x}$ часть работы в час.

2. Определим производительность ученика.
Если ученик выполняет всю работу за $y$ часов, то его производительность составляет $\frac{1}{y}$ часть работы в час.

3. Найдем совместную производительность.
Когда рабочий и ученик работают вместе, их производительности складываются. Совместная производительность $P_{совм}$ равна:
$P_{совм} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю $xy$:
$P_{совм} = \frac{y}{xy} + \frac{x}{xy} = \frac{x+y}{xy}$ (часть работы в час).

4. Найдем время для выполнения всей работы совместно.
Время $t$, необходимое для выполнения всей работы, вычисляется по формуле: $t = \frac{\text{Объём работы}}{\text{Производительность}}$.
В нашем случае объём работы равен 1, а совместная производительность равна $\frac{x+y}{xy}$.
$t = \frac{1}{\frac{x+y}{xy}}$

Чтобы разделить 1 на дробь, нужно "перевернуть" эту дробь:
$t = \frac{xy}{x+y}$ (часов).

Следовательно, выражение для нахождения времени, за которое рабочий и ученик выполнят всю работу совместно, имеет вид $\frac{xy}{x+y}$.

Ответ: $\frac{xy}{x+y}$