Номер 545, страница 223 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 32. Решение задач с помощью квадратных уравнений. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 545, страница 223.

Условие.

545. Периметр прямоугольника равен 1 м, а площадь – $4\text{ дм}^2$. Найти его стороны.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Обозначим стороны прямоугольника как $a$ и $b$.

По условию задачи, периметр $P$ равен 1 м, а площадь $S$ равна 4 дм².

Для удобства вычислений приведем все величины к одной единице измерения. В 1 метре содержится 10 дециметров, следовательно:

$P = 1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$

Формула периметра прямоугольника: $P = 2(a + b)$.

Формула площади прямоугольника: $S = a \cdot b$.

Составим систему уравнений на основе данных задачи:

$\begin{cases} 2(a + b) = 10 \\ a \cdot b = 4 \end{cases}$

Упростим первое уравнение, разделив обе его части на 2:

$a + b = 5$

Теперь система уравнений выглядит так:

$\begin{cases} a + b = 5 \\ a \cdot b = 4 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим одну переменную через другую, например, $a$:

$a = 5 - b$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$(5 - b) \cdot b = 4$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:

$5b - b^2 = 4$

$b^2 - 5b + 4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета: сумма корней уравнения равна 5, а их произведение равно 4. Методом подбора находим корни: $b_1 = 1$ и $b_2 = 4$.

Теперь найдем соответствующие значения для второй стороны $a$:

1. Если сторона $b = 1$ дм, то сторона $a = 5 - 1 = 4$ дм.

2. Если сторона $b = 4$ дм, то сторона $a = 5 - 4 = 1$ дм.

В обоих случаях мы получаем, что стороны прямоугольника имеют длины 1 дм и 4 дм. Выполним проверку: периметр $P = 2(1 + 4) = 10$ дм $= 1$ м; площадь $S = 1 \cdot 4 = 4$ дм². Условия задачи выполнены.

Ответ: стороны прямоугольника равны 1 дм и 4 дм.