Номер 548, страница 224 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 32. Решение задач с помощью квадратных уравнений. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 548, страница 224.

Условие.

548. Прогулочный теплоход отправился вниз по течению реки от пристани $A$ и причалил к пристани $B$. После получасовой стоянки теплоход отправился обратно и через $8$ ч после отплытия из $A$ вернулся на эту же пристань. Какова скорость теплохода в стоячей воде, если расстояние между пристанями $A$ и $B$ равно $36$ км, а скорость течения реки $2$ км/ч?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Пусть $x$ км/ч — собственная скорость теплохода (скорость в стоячей воде). Тогда скорость теплохода по течению реки (вниз от А к В) равна $(x + 2)$ км/ч, а скорость против течения реки (обратно от В к А) — $(x - 2)$ км/ч. Расстояние между пристанями А и В равно 36 км.

Время, затраченное теплоходом на путь от А до В по течению, вычисляется по формуле $t = S/v$ и составляет $t_1 = \frac{36}{x + 2}$ часов.

Время, затраченное на обратный путь от В до А против течения, составляет $t_2 = \frac{36}{x - 2}$ часов.

Общее время путешествия, включая стоянку, составляет 8 часов. Стоянка длилась полчаса, то есть 0,5 часа. Следовательно, чистое время движения теплохода равно:

$T_{движения} = 8 \text{ ч} - 0,5 \text{ ч} = 7,5$ часов.

Общее время движения складывается из времени движения по течению и против течения: $T_{движения} = t_1 + t_2$. Составим и решим уравнение:

$\frac{36}{x + 2} + \frac{36}{x - 2} = 7,5$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x + 2)(x - 2) = x^2 - 4$. Заметим, что $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

$\frac{36(x - 2) + 36(x + 2)}{(x + 2)(x - 2)} = 7,5$

$\frac{36x - 72 + 36x + 72}{x^2 - 4} = 7,5$

$\frac{72x}{x^2 - 4} = 7,5$

Воспользуемся свойством пропорции:

$72x = 7,5(x^2 - 4)$

$72x = 7,5x^2 - 30$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$7,5x^2 - 72x - 30 = 0$

Чтобы избавиться от дробного коэффициента, умножим обе части уравнения на 2:

$15x^2 - 144x - 60 = 0$

Для упрощения коэффициентов разделим обе части уравнения на 3:

$5x^2 - 48x - 20 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-48)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-20) = 2304 + 400 = 2704$

$\sqrt{D} = \sqrt{2704} = 52$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{48 + 52}{2 \cdot 5} = \frac{100}{10} = 10$

$x_2 = \frac{48 - 52}{2 \cdot 5} = \frac{-4}{10} = -0,4$

Скорость не может быть отрицательной, поэтому корень $x_2 = -0,4$ не соответствует условию задачи. Кроме того, собственная скорость теплохода должна быть больше скорости течения, чтобы он мог двигаться против течения ($x > 2$). Корень $x_1 = 10$ удовлетворяет этому условию ($10 > 2$).

Таким образом, скорость теплохода в стоячей воде составляет 10 км/ч.

Ответ: 10 км/ч.