Номер 554, страница 224 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 32. Решение задач с помощью квадратных уравнений. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 554, страница 224.

Условие.

554. Члены школьного кружка натуралистов отправились на катере для сбора лекарственных трав. Проплыв вниз по течению реки $35 \text{ км}$, они сделали трёхчасовую стоянку, после чего вернулись назад. Определить скорость катера в стоячей воде, если на всё путешествие ушло $7 \text{ ч}$, а скорость течения реки $3 \text{ км/ч}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения задачи обозначим собственную скорость катера (скорость в стоячей воде) за $x$ км/ч. Это искомая величина.

По условию, скорость течения реки равна $3$ км/ч. Это означает, что:

• Скорость катера по течению реки составляет $(x + 3)$ км/ч.

• Скорость катера против течения реки составляет $(x - 3)$ км/ч.

Для того чтобы катер мог двигаться против течения, его собственная скорость должна быть больше скорости течения, то есть должно выполняться условие $x > 3$.

Общее время путешествия составило $7$ часов. Из них $3$ часа была стоянка. Следовательно, время, которое катер непосредственно находился в движении, составляет:

$t_{движения} = 7 \text{ ч} - 3 \text{ ч} = 4 \text{ ч}$

Это время состоит из времени движения по течению ($t_{по\;течению}$) и времени движения против течения ($t_{против\;течения}$). Расстояние, пройденное в каждом направлении, равно $35$ км. Используя основную формулу движения $t = S/v$, выразим время для каждого участка пути:

$t_{по\;течению} = \frac{35}{x+3}$

$t_{против\;течения} = \frac{35}{x-3}$

Сумма этих времен равна общему времени движения, что позволяет составить уравнение:

$\frac{35}{x+3} + \frac{35}{x-3} = 4$

Решим это уравнение. Сначала приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x+3)(x-3)$:

$\frac{35(x-3) + 35(x+3)}{(x+3)(x-3)} = 4$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$\frac{35x - 105 + 35x + 105}{x^2 - 9} = 4$

$\frac{70x}{x^2 - 9} = 4$

Умножим обе части уравнения на знаменатель $(x^2-9)$, предполагая, что $x \neq \pm 3$:

$70x = 4(x^2 - 9)$

$70x = 4x^2 - 36$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$4x^2 - 70x - 36 = 0$

Для упрощения вычислений разделим все члены уравнения на 2:

$2x^2 - 35x - 18 = 0$

Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):

$D = (-35)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-18) = 1225 + 144 = 1369$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{1369} = 37$.

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-35) + 37}{2 \cdot 2} = \frac{35 + 37}{4} = \frac{72}{4} = 18$

$x_2 = \frac{-(-35) - 37}{2 \cdot 2} = \frac{35 - 37}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$

Скорость не может быть отрицательной величиной, поэтому корень $x_2 = -0.5$ не подходит по смыслу задачи. Корень $x_1 = 18$ является положительным числом и удовлетворяет условию $x > 3$.

Таким образом, скорость катера в стоячей воде равна 18 км/ч.

Ответ: 18 км/ч.