Номер 556, страница 225 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 32. Решение задач с помощью квадратных уравнений. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 556, страница 225.

Условие.

556. За 4 дня совместной работы двух тракторов различной мощности было вспахано $2/3$ поля. За сколько дней можно было бы вспахать всё поле каждым трактором отдельно, если первым трактором можно вспахать всё поле на 5 дней быстрее, чем вторым?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Пусть весь объем работы по вспашке поля равен 1.

Обозначим за $x$ количество дней, за которое первый, более мощный трактор, может вспахать всё поле, работая в одиночку.

Согласно условию, первый трактор вспахивает поле на 5 дней быстрее, чем второй. Следовательно, второму трактору потребуется $(x+5)$ дней, чтобы выполнить всю работу.

Производительность (скорость работы) первого трактора составляет $v_1 = \frac{1}{x}$ поля в день.

Производительность второго трактора составляет $v_2 = \frac{1}{x+5}$ поля в день.

При совместной работе их общая производительность будет равна сумме их производительностей: $v_{общая} = v_1 + v_2 = \frac{1}{x} + \frac{1}{x+5}$

По условию, за 4 дня совместной работы тракторы вспахали $\frac{2}{3}$ поля. Объем выполненной работы равен произведению общей производительности на время. На основе этих данных составим уравнение: $4 \cdot v_{общая} = \frac{2}{3}$ $4 \cdot \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5}\right) = \frac{2}{3}$

Теперь решим это уравнение. Для начала разделим обе части на 4: $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5} = \frac{2}{3 \cdot 4} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+5)$: $\frac{x+5}{x(x+5)} + \frac{x}{x(x+5)} = \frac{1}{6}$ $\frac{2x+5}{x^2+5x} = \frac{1}{6}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение), чтобы избавиться от дробей: $6 \cdot (2x+5) = 1 \cdot (x^2+5x)$ $12x + 30 = x^2 + 5x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$: $x^2 + 5x - 12x - 30 = 0$ $x^2 - 7x - 30 = 0$

Найдем корни полученного квадратного уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169 = 13^2$

Теперь найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 13}{2} = \frac{20}{2} = 10$ $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 13}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Поскольку $x$ обозначает количество дней, эта величина не может быть отрицательной. Следовательно, корень $x_2 = -3$ не соответствует условию задачи.

Таким образом, время, необходимое первому трактору для вспашки всего поля, составляет 10 дней.

Время, необходимое второму трактору, составляет: $x + 5 = 10 + 5 = 15$ дней.

Ответ: первый трактор может вспахать всё поле за 10 дней, а второй — за 15 дней.