Страница 225 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

556. За 4 дня совместной работы двух тракторов различной мощности было вспахано $2/3$ поля. За сколько дней можно было бы вспахать всё поле каждым трактором отдельно, если первым трактором можно вспахать всё поле на 5 дней быстрее, чем вторым?

Пусть весь объем работы по вспашке поля равен 1.

Обозначим за $x$ количество дней, за которое первый, более мощный трактор, может вспахать всё поле, работая в одиночку.

Согласно условию, первый трактор вспахивает поле на 5 дней быстрее, чем второй. Следовательно, второму трактору потребуется $(x+5)$ дней, чтобы выполнить всю работу.

Производительность (скорость работы) первого трактора составляет $v_1 = \frac{1}{x}$ поля в день.

Производительность второго трактора составляет $v_2 = \frac{1}{x+5}$ поля в день.

При совместной работе их общая производительность будет равна сумме их производительностей: $v_{общая} = v_1 + v_2 = \frac{1}{x} + \frac{1}{x+5}$

По условию, за 4 дня совместной работы тракторы вспахали $\frac{2}{3}$ поля. Объем выполненной работы равен произведению общей производительности на время. На основе этих данных составим уравнение: $4 \cdot v_{общая} = \frac{2}{3}$ $4 \cdot \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5}\right) = \frac{2}{3}$

Теперь решим это уравнение. Для начала разделим обе части на 4: $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5} = \frac{2}{3 \cdot 4} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+5)$: $\frac{x+5}{x(x+5)} + \frac{x}{x(x+5)} = \frac{1}{6}$ $\frac{2x+5}{x^2+5x} = \frac{1}{6}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение), чтобы избавиться от дробей: $6 \cdot (2x+5) = 1 \cdot (x^2+5x)$ $12x + 30 = x^2 + 5x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$: $x^2 + 5x - 12x - 30 = 0$ $x^2 - 7x - 30 = 0$

Найдем корни полученного квадратного уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169 = 13^2$

Теперь найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 13}{2} = \frac{20}{2} = 10$ $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 13}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Поскольку $x$ обозначает количество дней, эта величина не может быть отрицательной. Следовательно, корень $x_2 = -3$ не соответствует условию задачи.

Таким образом, время, необходимое первому трактору для вспашки всего поля, составляет 10 дней.

Время, необходимое второму трактору, составляет: $x + 5 = 10 + 5 = 15$ дней.

Ответ: первый трактор может вспахать всё поле за 10 дней, а второй — за 15 дней.

557. Рабочий положил на хранение в банк 50 000 р. По истечении года к его вкладу были причислены процентные деньги, и в то же время он увеличил свой вклад ещё на 50 000 р., а по истечении ещё одного года попросил выдать ему накопленные процентные деньги. Сколько процентов в год начисляет банк, если рабочий получил 12 320 р. процентных денег, оставив вклад в 100 000 р. на новый срок?

Для решения задачи введем обозначения:

• $S_0 = 50000$ р. — первоначальный вклад.

• $p$ — годовая процентная ставка банка, которую нам нужно найти.

• $k = 1 + \frac{p}{100}$ — коэффициент, на который увеличивается сумма вклада за год.

Распишем состояние счета по годам.

1. Конец первого года:

На первоначальный вклад $S_0$ начисляются проценты. Сумма на счете становится равной:

$S_1 = S_0 \cdot k = 50000k$

После этого рабочий пополняет вклад еще на 50 000 р. Сумма на счете в начале второго года составляет:

$S_2 = S_1 + 50000 = 50000k + 50000 = 50000(k+1)$

2. Конец второго года:

В течение второго года проценты начисляются уже на сумму $S_2$. Итоговая сумма на счете через два года составит:

$S_{финал} = S_2 \cdot k = 50000(k+1) \cdot k = 50000(k^2+k)$

3. Анализ итоговой суммы по условию задачи:

По условию, рабочий снял накопленные процентные деньги в размере 12 320 р., оставив на счете вклад в размере 100 000 р. (сумма его первоначальных вложений: 50 000 + 50 000). Это означает, что общая сумма на счете до снятия процентов была равна сумме оставшегося вклада и снятых процентов:

$S_{финал} = 100000 + 12320 = 112320$ р.

4. Составление и решение уравнения:

Теперь мы можем приравнять два выражения для итоговой суммы $S_{финал}$:

$50000(k^2+k) = 112320$

Разделим обе части уравнения на 10 для упрощения:

$5000(k^2+k) = 11232$

Заметим, что обе части делятся на 8:

$625(k^2+k) = 1404$

Раскроем скобки и перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$625k^2 + 625k - 1404 = 0$

Решим это уравнение относительно $k$ с помощью формулы корней квадратного уравнения $k = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$:

$a = 625, b = 625, c = -1404$

Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 625^2 - 4 \cdot 625 \cdot (-1404) = 625 \cdot (625 + 4 \cdot 1404) = 625 \cdot (625 + 5616) = 625 \cdot 6241$

Найдем корень из дискриминанта:

$\sqrt{D} = \sqrt{625 \cdot 6241} = \sqrt{625} \cdot \sqrt{6241} = 25 \cdot 79 = 1975$

Теперь найдем корни уравнения:

$k_1 = \frac{-625 + 1975}{2 \cdot 625} = \frac{1350}{1250} = \frac{135}{125} = \frac{27}{5 \cdot 5} = \frac{27}{25} = 1.08$

$k_2 = \frac{-625 - 1975}{2 \cdot 625} = \frac{-2600}{1250} < 0$

Поскольку процентная ставка не может быть отрицательной, коэффициент $k$ должен быть больше 1. Следовательно, нам подходит только корень $k = 1.08$.

5. Нахождение процентной ставки:

Зная коэффициент $k$, найдем процентную ставку $p$:

$k = 1 + \frac{p}{100}$

$1.08 = 1 + \frac{p}{100}$

$\frac{p}{100} = 1.08 - 1 = 0.08$

$p = 0.08 \cdot 100 = 8$

Таким образом, банк начисляет 8% в год.

Проверка:

1. В конце 1-го года: $50000 \cdot 1.08 = 54000$ р. Проценты за 1-й год: 4000 р.

2. Сумма на начало 2-го года: $54000 + 50000 = 104000$ р.

3. В конце 2-го года: $104000 \cdot 1.08 = 112320$ р. Проценты за 2-й год: $112320 - 104000 = 8320$ р.

4. Общая сумма процентов за два года: $4000 + 8320 = 12320$ р. Это соответствует условию задачи.

Ответ: 8%.

558. Два раствора, из которых первый содержит 0,8 кг, а второй — 0,6 кг безводной серной кислоты, соединили вместе и получили 10 кг нового раствора серной кислоты. Найти массу первого и второго растворов в смеси, если известно, что концентрация серной кислоты в первом растворе была на 10% больше, чем во втором.

Пусть $m_1$ и $m_2$ — массы первого и второго растворов соответственно, в килограммах. По условию задачи, два раствора соединили вместе и получили 10 кг нового раствора. Это означает, что сумма масс исходных растворов равна 10 кг. Составим первое уравнение:

$m_1 + m_2 = 10$

Концентрация вещества в растворе — это отношение массы чистого вещества к массе всего раствора. Масса безводной серной кислоты в первом растворе составляет 0,8 кг, а во втором — 0,6 кг. Тогда концентрация первого раствора ($C_1$) и второго раствора ($C_2$) выражаются формулами:

$C_1 = \frac{0.8}{m_1}$

$C_2 = \frac{0.6}{m_2}$

Известно, что концентрация серной кислоты в первом растворе была на 10% больше, чем во втором. 10% в виде десятичной дроби — это 0,1. Таким образом, получаем второе уравнение:

$C_1 = C_2 + 0.1$

Подставим выражения для концентраций в это уравнение:

$\frac{0.8}{m_1} = \frac{0.6}{m_2} + 0.1$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} m_1 + m_2 = 10 \\ \frac{0.8}{m_1} = \frac{0.6}{m_2} + 0.1 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $m_2$:

$m_2 = 10 - m_1$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$\frac{0.8}{m_1} = \frac{0.6}{10 - m_1} + 0.1$

Решим полученное уравнение относительно $m_1$. Для этого умножим обе части уравнения на общий знаменатель $m_1(10 - m_1)$, учитывая, что $m_1 \ne 0$ и $m_1 \ne 10$:

$0.8 \cdot (10 - m_1) = 0.6 \cdot m_1 + 0.1 \cdot m_1 \cdot (10 - m_1)$

Раскроем скобки:

$8 - 0.8m_1 = 0.6m_1 + m_1 - 0.1m_1^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$0.1m_1^2 - 0.8m_1 - 0.6m_1 - m_1 + 8 = 0$

$0.1m_1^2 - 2.4m_1 + 8 = 0$

Умножим уравнение на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$m_1^2 - 24m_1 + 80 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 80 = 576 - 320 = 256$

$\sqrt{D} = \sqrt{256} = 16$

Найдем корни уравнения:

$m_{1,1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{24 + 16}{2 \cdot 1} = \frac{40}{2} = 20$

$m_{1,2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{24 - 16}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4$

Получили два возможных значения для массы первого раствора. Проверим их. По условию, общая масса смеси равна 10 кг, значит, масса каждого из исходных растворов должна быть меньше 10 кг. Корень $m_1 = 20$ не удовлетворяет условию задачи, так как $20 > 10$. Следовательно, масса первого раствора равна $m_1 = 4$ кг.

Теперь найдем массу второго раствора:

$m_2 = 10 - m_1 = 10 - 4 = 6$ кг.

Проверим условие с концентрациями:

$C_1 = \frac{0.8}{4} = 0.2$ (или 20%)

$C_2 = \frac{0.6}{6} = 0.1$ (или 10%)

$C_1 - C_2 = 0.2 - 0.1 = 0.1$, что соответствует 10%. Условие выполнено.

Ответ: масса первого раствора — 4 кг, масса второго раствора — 6 кг.