Страница 223 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

3. Как называется выражение $6x(x+20)$ для дробей, входящих в уравнение (1)?

В контексте решения уравнений, содержащих дроби, выражение $6x(x+20)$ является общим знаменателем для этих дробей.

Когда мы решаем дробно-рациональное уравнение (то есть уравнение с переменной в знаменателе), основной метод заключается в том, чтобы избавиться от знаменателей. Для этого все дроби в уравнении приводят к общему знаменателю. Выражение $6x(x+20)$ — это такое выражение, которое делится без остатка на знаменатель каждой дроби из уравнения (1).

Чаще всего для упрощения расчетов находят не просто общий, а наименьший общий знаменатель (НОЗ). Судя по виду выражения $6x(x+20)$, можно сделать вывод, что знаменатели исходных дробей содержали множители $6$ (или его делители, например $2$ и $3$), $x$ и $(x+20)$. Умножение обеих частей уравнения на этот наименьший общий знаменатель позволяет перейти от дробного уравнения к целому, которое решать проще.

Ответ: Выражение $6x(x+20)$ называется общим знаменателем дробей, входящих в уравнение. Более точное название — наименьший общий знаменатель (НОЗ).

4. Какое свойство уравнений используется для получения уравнения (2) из уравнения $6\frac{2}{3}\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+3}\right)=1$?

4. Поскольку в вопросе не приведено само уравнение (2), мы можем предположить его вид, исходя из стандартных шагов решения исходного уравнения. Основная цель на первом этапе решения — упростить уравнение, чтобы в дальнейшем выразить переменную $x$.

Исходное уравнение, которое можно обозначить как (1), имеет вид:

$6\frac{2}{3}\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+3}\right) = 1$

Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь для удобства вычислений:

$6\frac{2}{3} = \frac{6 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{20}{3}$

Подставив это значение в уравнение, получим:

$\frac{20}{3}\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+3}\right) = 1$

Следующим логичным шагом является избавление от коэффициента $\frac{20}{3}$ в левой части уравнения. Для этого необходимо разделить обе части уравнения на это число. Деление на $\frac{20}{3}$ равносильно умножению на обратное ему число $\frac{3}{20}$.

Выполним это действие:

$\frac{3}{20} \cdot \left(\frac{20}{3}\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+3}\right)\right) = 1 \cdot \frac{3}{20}$

В левой части коэффициенты взаимно уничтожаются, и мы получаем уравнение, которое, вероятнее всего, и является уравнением (2):

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+3} = \frac{3}{20}$

Преобразование из уравнения (1) в уравнение (2) было выполнено с помощью одного из основных свойств равносильности уравнений.

Ответ: Используется свойство уравнений, которое гласит, что если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное исходному.

5. Почему в задаче 2 только один из корней уравнения (1) удовлетворяет условию задачи?

При решении прикладных задач, таких как задача 2, сначала составляется математическая модель, в данном случае — уравнение (1). Это уравнение является формальным, абстрактным описанием реальной ситуации, изложенной в условии задачи.

Уравнение как математический объект может иметь несколько решений (корней). Например, квадратное уравнение, которое часто используется для моделирования, как правило, имеет два корня. Однако не все математические решения могут быть решениями исходной задачи.

Это связано с тем, что переменные в задаче обычно имеют определённый физический или логический смысл, и, следовательно, на них накладываются дополнительные ограничения, которые не всегда отражены в самом уравнении. Поэтому после нахождения всех корней уравнения необходимо выполнить проверку: удовлетворяет ли каждый корень условиям исходной задачи. Корень отбрасывается, если он не соответствует этим условиям. Наиболее частые причины для отбрасывания корня:

• Физическая невозможность. Корень является отрицательным числом, в то время как искомая величина по своему смыслу может быть только положительной или неотрицательной. Классические примеры: время ($t$), расстояние ($s$), длина ($l$), площадь ($A$), объем ($V$), масса ($m$). Все эти величины в реальном мире не могут быть отрицательными. Если уравнение для времени даёт корни $t_1 = 10$ и $t_2 = -2$, то второй корень отбрасывается как не имеющий физического смысла.
• Логические ограничения. Корень не принадлежит области допустимых значений переменной, заданной условием задачи. Например, если $x$ – это длина стороны квадрата, вырезаемого из листа картона размером 20x20 см, то должно выполняться условие $0 < x < 10$. Если один из корней уравнения окажется равен, например, 15, он будет являться посторонним для данной задачи.
• Несоответствие типу числа. Корень может быть дробным или иррациональным, тогда как по условию задачи ищется количество объектов (например, людей, машин, деталей), которое может быть только целым и положительным числом.

Таким образом, в задаче 2, вероятно, один из корней уравнения (1) не удовлетворяет одному из таких скрытых или явных условий. Он является математически верным решением самого уравнения, но не является решением задачи, так как противоречит её физическим или логическим условиям.

Ответ: Один из корней уравнения (1) не удовлетворяет условию задачи 2, потому что он не соответствует физическому или логическому смыслу величины, которую представляет переменная в задаче. Например, этот корень может быть отрицательным значением для времени или длины, либо выходить за пределы допустимых значений, установленных контекстом задачи.

1. В прямоугольном равнобедренном треугольнике катет равен $x$ см, а гипотенуза на 8 см больше катета. Записать выражения для нахождения периметра и площади этого треугольника.

Периметр:

$P = 3x + 8$

Площадь:

$S = \frac{1}{2} x^2$

По условию задачи, мы имеем прямоугольный равнобедренный треугольник. Это значит, что его катеты равны между собой. Обозначим длину катета как $x$ см.

Тогда:

• Длина первого катета: $a = x$ см.
• Длина второго катета: $b = x$ см.
• Длина гипотенузы, которая на 8 см больше катета: $c = x + 8$ см.

Для нахождения значения $x$ воспользуемся теоремой Пифагора, согласно которой сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $a^2 + b^2 = c^2$.

Подставим наши значения в формулу:

$x^2 + x^2 = (x + 8)^2$

Упростим полученное уравнение:

$2x^2 = x^2 + 16x + 64$

$2x^2 - x^2 - 16x - 64 = 0$

$x^2 - 16x - 64 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-64) = 256 + 256 = 512$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x = \frac{16 \pm \sqrt{512}}{2} = \frac{16 \pm \sqrt{256 \cdot 2}}{2} = \frac{16 \pm 16\sqrt{2}}{2} = 8 \pm 8\sqrt{2}$

Уравнение имеет два корня: $x_1 = 8 + 8\sqrt{2}$ и $x_2 = 8 - 8\sqrt{2}$.

Поскольку длина стороны треугольника ($x$) должна быть положительной, а корень $x_2 = 8 - 8\sqrt{2} \approx 8 - 8 \cdot 1.414 = 8 - 11.312 < 0$, он не является решением задачи.

Следовательно, длина катета равна $x = 8 + 8\sqrt{2}$ см.

Теперь мы можем записать выражения для периметра и площади.

Выражение для нахождения периметра

Периметр треугольника $P$ — это сумма длин всех его сторон: $P = a + b + c = x + x + (x + 8) = 3x + 8$.

Подставим найденное значение $x = 8 + 8\sqrt{2}$:

$P = 3(8 + 8\sqrt{2}) + 8 = 24 + 24\sqrt{2} + 8 = 32 + 24\sqrt{2}$

Ответ: Выражение для периметра треугольника: $P = (32 + 24\sqrt{2})$ см.

Выражение для нахождения площади

Площадь прямоугольного треугольника $S$ равна половине произведения его катетов: $S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}x^2$.

Подставим найденное значение $x = 8 + 8\sqrt{2}$:

$S = \frac{1}{2}(8 + 8\sqrt{2})^2 = \frac{1}{2}(8(1 + \sqrt{2}))^2 = \frac{1}{2} \cdot 64 \cdot (1 + \sqrt{2})^2$

$S = 32(1^2 + 2\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2) = 32(1 + 2\sqrt{2} + 2) = 32(3 + 2\sqrt{2})$

$S = 96 + 64\sqrt{2}$

Ответ: Выражение для площади треугольника: $S = (96 + 64\sqrt{2})$ см².

2. Тело движется равномерно и прямолинейно со скоростью 50 км/ч. Записать выражение для нахождения времени, за которое это тело преодолеет расстояние s.

$t = \frac{s}{50}$

Для нахождения выражения для времени воспользуемся основной формулой, описывающей равномерное прямолинейное движение. Эта формула связывает три физические величины: расстояние ($s$), скорость ($v$) и время ($t$).

Основная формула выглядит так:

$s = v \cdot t$

В условии задачи нам даны:

• Скорость движения тела: $v = 50$ км/ч.
• Расстояние, которое нужно преодолеть: $s$.

Нам необходимо найти выражение для времени $t$. Для этого нужно преобразовать исходную формулу. Выразим время $t$, разделив обе части уравнения на скорость $v$:

$t = \frac{s}{v}$

Теперь в полученное выражение подставим известное значение скорости $v = 50$ км/ч:

$t = \frac{s}{50}$

Это и есть искомое выражение для нахождения времени. Важно отметить, что для корректного расчета время $t$ будет получено в часах, если расстояние $s$ будет подставлено в километрах.

Ответ: $t = \frac{s}{50}$

3. Лодка движется:

Время: $t = \frac{s}{7+x}$

Время: $t = \frac{s}{7-x}$

Собственная скорость лодки 7 км/ч. Записать выражение для нахождения времени, за которое лодка преодолеет расстояние $s$, если скорость течения реки $x$ км/ч (известно, что $x<7$).

1) по течению реки
Для нахождения времени движения лодки ($t$) необходимо разделить расстояние ($s$) на скорость ($v$). При движении по течению реки скорость лодки относительно берега ($v_{по}$) равна сумме её собственной скорости ($v_{соб}$) и скорости течения реки ($v_{теч}$).
По условию задачи:
Собственная скорость лодки: $v_{соб} = 7$ км/ч.
Скорость течения реки: $v_{теч} = x$ км/ч.
Следовательно, скорость лодки по течению: $v_{по} = v_{соб} + v_{теч} = 7 + x$ км/ч.
Теперь можно записать выражение для времени, за которое лодка преодолеет расстояние $s$ по течению реки, используя формулу $t = \frac{s}{v}$.
Ответ: $\frac{s}{7+x}$

2) против течения реки
При движении против течения реки скорость лодки относительно берега ($v_{против}$) равна разности её собственной скорости ($v_{соб}$) и скорости течения реки ($v_{теч}$).
Используя данные из условия:
Собственная скорость лодки: $v_{соб} = 7$ км/ч.
Скорость течения реки: $v_{теч} = x$ км/ч.
Следовательно, скорость лодки против течения: $v_{против} = v_{соб} - v_{теч} = 7 - x$ км/ч.
(Условие $x<7$ гарантирует, что скорость $v_{против}$ является положительной, то есть лодка может двигаться против течения).
Выражение для времени, за которое лодка преодолеет расстояние $s$ против течения, находится по той же формуле $t = \frac{s}{v}$.
Ответ: $\frac{s}{7-x}$

4. Рабочий может выполнить весь объём работы за $x$ ч, а его ученик — за $y$ ч. Записать выражение для нахождения времени, за которое весь объём работы выполнят рабочий и его ученик, если будут работать совместно.

Для решения задачи введем понятие производительности труда — это часть работы, выполняемая за единицу времени (в данном случае, за 1 час). Весь объём работы примем за 1.

1. Определим производительность рабочего.
Если рабочий выполняет всю работу за $x$ часов, то его производительность (скорость работы) составляет $\frac{1}{x}$ часть работы в час.

2. Определим производительность ученика.
Если ученик выполняет всю работу за $y$ часов, то его производительность составляет $\frac{1}{y}$ часть работы в час.

3. Найдем совместную производительность.
Когда рабочий и ученик работают вместе, их производительности складываются. Совместная производительность $P_{совм}$ равна:
$P_{совм} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю $xy$:
$P_{совм} = \frac{y}{xy} + \frac{x}{xy} = \frac{x+y}{xy}$ (часть работы в час).

4. Найдем время для выполнения всей работы совместно.
Время $t$, необходимое для выполнения всей работы, вычисляется по формуле: $t = \frac{\text{Объём работы}}{\text{Производительность}}$.
В нашем случае объём работы равен 1, а совместная производительность равна $\frac{x+y}{xy}$.
$t = \frac{1}{\frac{x+y}{xy}}$

Чтобы разделить 1 на дробь, нужно "перевернуть" эту дробь:
$t = \frac{xy}{x+y}$ (часов).

Следовательно, выражение для нахождения времени, за которое рабочий и ученик выполнят всю работу совместно, имеет вид $\frac{xy}{x+y}$.

Ответ: $\frac{xy}{x+y}$

5. Клиент положил на новый счёт в банке $x$ р. под $5\%$ годовых. Какую максимальную сумму он сможет снять с этого счёта через год?

Для того чтобы найти максимальную сумму, которую клиент сможет снять со счёта через год, необходимо к первоначальной сумме вклада прибавить проценты, начисленные за этот год.

Дано:
Первоначальная сумма вклада: $x$ р.
Годовая процентная ставка: $5\%$.

1. Расчёт суммы процентов за год.
Проценты начисляются на исходную сумму вклада. Для расчёта переведём процентную ставку в десятичную дробь:
$5\% = \frac{5}{100} = 0.05$
Теперь найдём сумму процентов, которая будет начислена за год:
Сумма процентов = $x \times 0.05 = 0.05x$ р.

2. Расчёт итоговой суммы на счёте через год.
Итоговая сумма на счёте равна сумме первоначального вклада и начисленных процентов. Это и будет максимальная сумма, доступная для снятия.
Итоговая сумма = Первоначальный вклад + Сумма процентов
Итоговая сумма = $x + 0.05x$

Упростим полученное выражение:
$x + 0.05x = 1x + 0.05x = (1 + 0.05)x = 1.05x$ р.

Таким образом, через год клиент сможет снять со счёта всю сумму, которая составит $1.05x$ рублей.

Ответ: $1.05x$ р.

6. Найти подбором положительный корень уравнения:

1) $x^2 + 6x - 16 = 0$;

2) $x^2 - 7x - 30 = 0$.

1) $x^2 + 6x - 16 = 0$

Для нахождения положительного корня методом подбора будем подставлять в уравнение натуральные числа, начиная с 1, пока не получим верное равенство.

Подставим $x = 1$ в уравнение:
$1^2 + 6 \cdot 1 - 16 = 1 + 6 - 16 = 7 - 16 = -9$.
Равенство неверно ($-9 \neq 0$), значит, $x=1$ не является корнем.

Подставим $x = 2$ в уравнение:
$2^2 + 6 \cdot 2 - 16 = 4 + 12 - 16 = 16 - 16 = 0$.
Равенство верно ($0 = 0$), значит, $x=2$ является корнем уравнения. Так как мы искали положительный корень, то задача решена.

Ответ: 2

2) $x^2 - 7x - 30 = 0$

Для нахождения положительного корня воспользуемся методом подбора. Если у приведенного квадратного уравнения есть целые корни, то по теореме Виета их произведение равно свободному члену, то есть $-30$. Следовательно, целые корни уравнения должны быть делителями числа 30.

Выпишем положительные делители числа 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. Будем поочередно проверять их.

Подставим $x = 1$: $1^2 - 7 \cdot 1 - 30 = 1 - 7 - 30 = -36 \neq 0$.

Подставим $x = 2$: $2^2 - 7 \cdot 2 - 30 = 4 - 14 - 30 = -40 \neq 0$.

Подставим $x = 3$: $3^2 - 7 \cdot 3 - 30 = 9 - 21 - 30 = -42 \neq 0$.

Подставим $x = 5$: $5^2 - 7 \cdot 5 - 30 = 25 - 35 - 30 = -40 \neq 0$.

Подставим $x = 10$: $10^2 - 7 \cdot 10 - 30 = 100 - 70 - 30 = 0$.
Равенство верно ($0 = 0$), значит, $x=10$ является корнем уравнения. Мы нашли искомый положительный корень.

Ответ: 10

7. Решить уравнение:

1) $\frac{x-2}{x^2-4}=0;$

2) $\frac{x^2-9}{x+3}=0.$

1) $\frac{x-2}{x^2-4} = 0$

Дробное рациональное уравнение равно нулю тогда и только тогда, когда его числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это можно записать в виде системы:

$\begin{cases} x - 2 = 0 \\ x^2 - 4 \neq 0 \end{cases}$

Сначала решим уравнение из первого условия системы:

$x - 2 = 0$

$x = 2$

Теперь проверим, удовлетворяет ли найденный корень второму условию системы (области допустимых значений). Для этого найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:

$x^2 - 4 = 0$

Разложим левую часть по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x-2)(x+2) = 0$

Это равенство верно при $x=2$ или $x=-2$. Следовательно, область допустимых значений для исходного уравнения: $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Корень, который мы получили из числителя, $x=2$, совпадает с одним из значений, исключаемых из области допустимых значений. Это означает, что при $x=2$ знаменатель обращается в ноль, а на ноль делить нельзя. Следовательно, $x=2$ является посторонним корнем.

Так как других корней у числителя нет, исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

2) $\frac{x^2-9}{x+3} = 0$

Уравнение равно нулю, когда его числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю. Запишем это в виде системы:

$\begin{cases} x^2 - 9 = 0 \\ x + 3 \neq 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение системы:

$x^2 - 9 = 0$

Разложим левую часть по формуле разности квадратов:

$(x-3)(x+3) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$x-3=0$ или $x+3=0$

$x_1 = 3$

$x_2 = -3$

Теперь проверим выполнение второго условия системы для найденных корней:

$x + 3 \neq 0$, что означает $x \neq -3$.

Сравним полученные корни с этим условием:

• Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет условию $x \neq -3$, следовательно, является решением уравнения.
• Корень $x_2 = -3$ не удовлетворяет условию $x \neq -3$, следовательно, является посторонним корнем.

Таким образом, у уравнения есть только один корень.

Ответ: $x=3$.

543. Найти два последовательных натуральных числа, произведение которых равно:

1) 156;

2) 210.

1) Пусть первое искомое натуральное число равно $n$, тогда следующее за ним (последовательное) натуральное число будет равно $n+1$. По условию задачи, их произведение равно 156. Составим и решим уравнение:
$n \cdot (n+1) = 156$
Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$n^2 + n - 156 = 0$
Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-156) = 1 + 624 = 625$
Найдем корни уравнения по формуле $n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$n_1 = \frac{-1 + \sqrt{625}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 25}{2} = \frac{24}{2} = 12$
$n_2 = \frac{-1 - \sqrt{625}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 25}{2} = \frac{-26}{2} = -13$
Так как по условию мы ищем натуральные числа (положительные целые), то корень $n_2 = -13$ не удовлетворяет условию задачи.
Следовательно, первое число равно 12. Тогда второе число равно $n+1 = 12+1=13$.
Проверка: $12 \cdot 13 = 156$.
Ответ: 12 и 13.

2) Аналогично первому пункту, пусть искомые числа равны $n$ и $n+1$. Их произведение равно 210. Составим и решим уравнение:
$n \cdot (n+1) = 210$
$n^2 + n - 210 = 0$
Найдем дискриминант:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-210) = 1 + 840 = 841$
Найдем корни уравнения:
$n_1 = \frac{-1 + \sqrt{841}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 29}{2} = \frac{28}{2} = 14$
$n_2 = \frac{-1 - \sqrt{841}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 29}{2} = \frac{-30}{2} = -15$
Корень $n_2 = -15$ не является натуральным числом, поэтому он не подходит.
Таким образом, первое число равно 14. Второе число равно $n+1 = 14+1=15$.
Проверка: $14 \cdot 15 = 210$.
Ответ: 14 и 15.

544. Найти два последовательных нечётных натуральных числа, если их произведение равно:

1) $255$;

2) $399$.

Обозначим первое нечётное натуральное число через $n$. Поскольку искомые числа являются последовательными нечётными, второе число будет равно $n + 2$. По условию задачи, их произведение известно. Составим и решим уравнение для каждого из случаев.

1)

Произведение чисел равно 255. Составим уравнение:
$n \cdot (n + 2) = 255$
Раскроем скобки и приведём уравнение к стандартному виду квадратного уравнения:
$n^2 + 2n - 255 = 0$
Решим это уравнение с помощью дискриминанта.
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-255) = 4 + 1020 = 1024$
$\sqrt{D} = \sqrt{1024} = 32$
Теперь найдём корни уравнения:
$n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 32}{2} = \frac{30}{2} = 15$
$n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 32}{2} = \frac{-34}{2} = -17$
Поскольку в задаче речь идёт о натуральных числах, корень $n_2 = -17$ не является решением.
Следовательно, первое искомое число равно 15.
Второе число равно $n + 2 = 15 + 2 = 17$.
Проверим произведение: $15 \cdot 17 = 255$.
Ответ: 15 и 17.

2)

Произведение чисел равно 399. Составим уравнение по аналогии с предыдущим пунктом:
$n \cdot (n + 2) = 399$
Раскроем скобки и приведём уравнение к стандартному виду:
$n^2 + 2n - 399 = 0$
Найдём корни этого квадратного уравнения через дискриминант.
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-399) = 4 + 1596 = 1600$
$\sqrt{D} = \sqrt{1600} = 40$
Теперь найдём корни уравнения:
$n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 40}{2} = \frac{38}{2} = 19$
$n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 40}{2} = \frac{-42}{2} = -21$
Корень $n_2 = -21$ не является натуральным числом, поэтому он нам не подходит.
Значит, первое искомое число равно 19.
Второе число равно $n + 2 = 19 + 2 = 21$.
Проверим произведение: $19 \cdot 21 = 399$.
Ответ: 19 и 21.

545. Периметр прямоугольника равен 1 м, а площадь – $4\text{ дм}^2$. Найти его стороны.

Обозначим стороны прямоугольника как $a$ и $b$.

По условию задачи, периметр $P$ равен 1 м, а площадь $S$ равна 4 дм².

Для удобства вычислений приведем все величины к одной единице измерения. В 1 метре содержится 10 дециметров, следовательно:

$P = 1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$

Формула периметра прямоугольника: $P = 2(a + b)$.

Формула площади прямоугольника: $S = a \cdot b$.

Составим систему уравнений на основе данных задачи:

$\begin{cases} 2(a + b) = 10 \\ a \cdot b = 4 \end{cases}$

Упростим первое уравнение, разделив обе его части на 2:

$a + b = 5$

Теперь система уравнений выглядит так:

$\begin{cases} a + b = 5 \\ a \cdot b = 4 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим одну переменную через другую, например, $a$:

$a = 5 - b$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$(5 - b) \cdot b = 4$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:

$5b - b^2 = 4$

$b^2 - 5b + 4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета: сумма корней уравнения равна 5, а их произведение равно 4. Методом подбора находим корни: $b_1 = 1$ и $b_2 = 4$.

Теперь найдем соответствующие значения для второй стороны $a$:

1. Если сторона $b = 1$ дм, то сторона $a = 5 - 1 = 4$ дм.

2. Если сторона $b = 4$ дм, то сторона $a = 5 - 4 = 1$ дм.

В обоих случаях мы получаем, что стороны прямоугольника имеют длины 1 дм и 4 дм. Выполним проверку: периметр $P = 2(1 + 4) = 10$ дм $= 1$ м; площадь $S = 1 \cdot 4 = 4$ дм². Условия задачи выполнены.

Ответ: стороны прямоугольника равны 1 дм и 4 дм.