Номер 1, страница 223 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Вводные упражнения. Параграф 32. Решение задач с помощью квадратных уравнений. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 1, страница 223.

Условие.

1. В прямоугольном равнобедренном треугольнике катет равен $x$ см, а гипотенуза на 8 см больше катета. Записать выражения для нахождения периметра и площади этого треугольника.

Периметр:

$P = 3x + 8$

Площадь:

$S = \frac{1}{2} x^2$

Решение 4.

По условию задачи, мы имеем прямоугольный равнобедренный треугольник. Это значит, что его катеты равны между собой. Обозначим длину катета как $x$ см.

Тогда:

• Длина первого катета: $a = x$ см.
• Длина второго катета: $b = x$ см.
• Длина гипотенузы, которая на 8 см больше катета: $c = x + 8$ см.

Для нахождения значения $x$ воспользуемся теоремой Пифагора, согласно которой сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $a^2 + b^2 = c^2$.

Подставим наши значения в формулу:

$x^2 + x^2 = (x + 8)^2$

Упростим полученное уравнение:

$2x^2 = x^2 + 16x + 64$

$2x^2 - x^2 - 16x - 64 = 0$

$x^2 - 16x - 64 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-64) = 256 + 256 = 512$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x = \frac{16 \pm \sqrt{512}}{2} = \frac{16 \pm \sqrt{256 \cdot 2}}{2} = \frac{16 \pm 16\sqrt{2}}{2} = 8 \pm 8\sqrt{2}$

Уравнение имеет два корня: $x_1 = 8 + 8\sqrt{2}$ и $x_2 = 8 - 8\sqrt{2}$.

Поскольку длина стороны треугольника ($x$) должна быть положительной, а корень $x_2 = 8 - 8\sqrt{2} \approx 8 - 8 \cdot 1.414 = 8 - 11.312 < 0$, он не является решением задачи.

Следовательно, длина катета равна $x = 8 + 8\sqrt{2}$ см.

Теперь мы можем записать выражения для периметра и площади.

Выражение для нахождения периметра

Периметр треугольника $P$ — это сумма длин всех его сторон: $P = a + b + c = x + x + (x + 8) = 3x + 8$.

Подставим найденное значение $x = 8 + 8\sqrt{2}$:

$P = 3(8 + 8\sqrt{2}) + 8 = 24 + 24\sqrt{2} + 8 = 32 + 24\sqrt{2}$

Ответ: Выражение для периметра треугольника: $P = (32 + 24\sqrt{2})$ см.

Выражение для нахождения площади

Площадь прямоугольного треугольника $S$ равна половине произведения его катетов: $S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}x^2$.

Подставим найденное значение $x = 8 + 8\sqrt{2}$:

$S = \frac{1}{2}(8 + 8\sqrt{2})^2 = \frac{1}{2}(8(1 + \sqrt{2}))^2 = \frac{1}{2} \cdot 64 \cdot (1 + \sqrt{2})^2$

$S = 32(1^2 + 2\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2) = 32(1 + 2\sqrt{2} + 2) = 32(3 + 2\sqrt{2})$

$S = 96 + 64\sqrt{2}$

Ответ: Выражение для площади треугольника: $S = (96 + 64\sqrt{2})$ см².