Номер 542, страница 217 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 31. Уравнения, сводящиеся к квадратным. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 542, страница 217.

Условие.

542. С помощью калькулятора решить уравнение:

1) $x^4 + 3x^2 - 7 = 0$;

2) $x^4 + 5x^2 - 5 = 0$;

3) $6x^4 + 19x^2 - 47 = 0$;

4) $5x^4 + 18x^2 - 111 = 0$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) $x^4 + 3x^2 - 7 = 0$

Данное уравнение является биквадратным. Произведем замену переменной: пусть $y = x^2$. Учитывая, что $x^2 \ge 0$, будем рассматривать только неотрицательные значения $y$.

После замены получаем квадратное уравнение: $y^2 + 3y - 7 = 0$.

Находим корни этого уравнения по формуле $y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ с коэффициентами $a=1, b=3, c=-7$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 9 + 28 = 37$.

Корни для $y$: $y_1 = \frac{-3 + \sqrt{37}}{2}$ и $y_2 = \frac{-3 - \sqrt{37}}{2}$.

С помощью калькулятора найдем приближенное значение $\sqrt{37} \approx 6.0828$. Тогда $y_1 \approx \frac{-3 + 6.0828}{2} \approx 1.5414$.

Корень $y_2 = \frac{-3 - \sqrt{37}}{2}$ является отрицательным числом, поэтому он не дает действительных решений для $x$, так как $x^2 = y \ge 0$.

Выполняем обратную замену для $y_1$: $x^2 = \frac{-3 + \sqrt{37}}{2}$.

Тогда $x = \pm\sqrt{\frac{-3 + \sqrt{37}}{2}}$.

С помощью калькулятора вычисляем приближенное значение: $x \approx \pm\sqrt{1.5414} \approx \pm 1.2415$. Округляя до сотых, получаем $x \approx \pm 1.24$.

Ответ: $x \approx \pm 1.24$.

2) $x^4 + 5x^2 - 5 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть $y = x^2$ ($y \ge 0$).

Уравнение принимает вид: $y^2 + 5y - 5 = 0$.

Решим это квадратное уравнение с коэффициентами $a=1, b=5, c=-5$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 25 + 20 = 45$.

Корни для $y$: $y_1 = \frac{-5 + \sqrt{45}}{2} = \frac{-5 + 3\sqrt{5}}{2}$ и $y_2 = \frac{-5 - \sqrt{45}}{2} = \frac{-5 - 3\sqrt{5}}{2}$.

С помощью калькулятора найдем приближенное значение $\sqrt{5} \approx 2.2361$. Тогда $y_1 \approx \frac{-5 + 3 \cdot 2.2361}{2} = \frac{-5 + 6.7083}{2} \approx 0.8542$.

Корень $y_2$ отрицательный, поэтому он не дает действительных решений для $x$.

Выполняем обратную замену для $y_1$: $x^2 = \frac{-5 + 3\sqrt{5}}{2}$.

Тогда $x = \pm\sqrt{\frac{-5 + 3\sqrt{5}}{2}}$.

С помощью калькулятора вычисляем приближенное значение: $x \approx \pm\sqrt{0.8542} \approx \pm 0.9242$. Округляя до сотых, получаем $x \approx \pm 0.92$.

Ответ: $x \approx \pm 0.92$.

3) $6x^4 + 19x^2 - 47 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть $y = x^2$ ($y \ge 0$).

Уравнение принимает вид: $6y^2 + 19y - 47 = 0$.

Решим это квадратное уравнение с коэффициентами $a=6, b=19, c=-47$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 19^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-47) = 361 + 1128 = 1489$.

Корни для $y$: $y_1 = \frac{-19 + \sqrt{1489}}{12}$ и $y_2 = \frac{-19 - \sqrt{1489}}{12}$.

С помощью калькулятора найдем приближенное значение $\sqrt{1489} \approx 38.5876$. Тогда $y_1 \approx \frac{-19 + 38.5876}{12} = \frac{19.5876}{12} \approx 1.6323$.

Корень $y_2$ отрицательный, поэтому он не дает действительных решений для $x$.

Выполняем обратную замену для $y_1$: $x^2 = \frac{-19 + \sqrt{1489}}{12}$.

Тогда $x = \pm\sqrt{\frac{-19 + \sqrt{1489}}{12}}$.

С помощью калькулятора вычисляем приближенное значение: $x \approx \pm\sqrt{1.6323} \approx \pm 1.2776$. Округляя до сотых, получаем $x \approx \pm 1.28$.

Ответ: $x \approx \pm 1.28$.

4) $5x^4 + 18x^2 - 111 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть $y = x^2$ ($y \ge 0$).

Уравнение принимает вид: $5y^2 + 18y - 111 = 0$.

Решим это квадратное уравнение с коэффициентами $a=5, b=18, c=-111$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 18^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-111) = 324 + 2220 = 2544$.

Корни для $y$: $y_1 = \frac{-18 + \sqrt{2544}}{10}$ и $y_2 = \frac{-18 - \sqrt{2544}}{10}$.

С помощью калькулятора найдем приближенное значение $\sqrt{2544} \approx 50.4381$. Тогда $y_1 \approx \frac{-18 + 50.4381}{10} = \frac{32.4381}{10} \approx 3.2438$.

Корень $y_2$ отрицательный, поэтому он не дает действительных решений для $x$.

Выполняем обратную замену для $y_1$: $x^2 = \frac{-18 + \sqrt{2544}}{10}$.

Тогда $x = \pm\sqrt{\frac{-18 + \sqrt{2544}}{10}}$.

С помощью калькулятора вычисляем приближенное значение: $x \approx \pm\sqrt{3.2438} \approx \pm 1.8011$. Округляя до сотых, получаем $x \approx \pm 1.80$.

Ответ: $x \approx \pm 1.80$.