Номер 541, страница 217 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 31. Уравнения, сводящиеся к квадратным. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 541, страница 217.

Условие.

541. Решить уравнение:

1) $(x-1)^4 - 5(x-1)^2 + 4 = 0;$

2) $(x+5)^4 + 8(x+5)^2 - 9 = 0.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) $(x-1)^4-5(x-1)^2+4=0$

Данное уравнение является биквадратным относительно выражения $(x-1)$.

Введем замену переменной. Пусть $y = (x-1)^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $y \ge 0$.

Тогда исходное уравнение примет вид квадратного уравнения относительно $y$:

$y^2 - 5y + 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения.

По теореме Виета:

$y_1 + y_2 = 5$

$y_1 \cdot y_2 = 4$

Отсюда находим корни: $y_1 = 1$ и $y_2 = 4$.

Оба корня удовлетворяют условию $y \ge 0$.

Теперь выполним обратную замену для каждого из найденных корней $y$.

1. Если $y = 1$, то $(x-1)^2 = 1$.

Это уравнение распадается на два:

$x - 1 = 1 \implies x_1 = 2$

$x - 1 = -1 \implies x_2 = 0$

2. Если $y = 4$, то $(x-1)^2 = 4$.

Это уравнение также распадается на два:

$x - 1 = 2 \implies x_3 = 3$

$x - 1 = -2 \implies x_4 = -1$

Таким образом, исходное уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $-1; 0; 2; 3$.

2) $(x+5)^4+8(x+5)^2-9=0$

Это уравнение также является биквадратным, но относительно выражения $(x+5)$.

Введем замену переменной. Пусть $t = (x+5)^2$. По определению квадрата, $t \ge 0$.

Подставим новую переменную в уравнение:

$t^2 + 8t - 9 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $t$. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100$

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{100}}{2} = \frac{-8 + 10}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{100}}{2} = \frac{-8 - 10}{2} = \frac{-18}{2} = -9$

Теперь проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.

$t_1 = 1$ удовлетворяет условию, так как $1 \ge 0$.

$t_2 = -9$ не удовлетворяет условию, так как $-9 < 0$. Этот корень является посторонним.

Следовательно, продолжаем решение только с $t=1$.

Выполним обратную замену:

$(x+5)^2 = 1$

Это уравнение эквивалентно двум линейным уравнениям:

$x + 5 = 1 \implies x_1 = 1 - 5 = -4$

$x + 5 = -1 \implies x_2 = -1 - 5 = -6$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $-6; -4$.