Номер 6, страница 217 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Вводные упражнения. Параграф 31. Уравнения, сводящиеся к квадратным. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 6, страница 217.

Условие.

6. Разложить на множители трёхчлен:

1) $x^2 - 6x - 7$;

2) $2x^2 - 5x + 3$.

Решение 4.

1) Чтобы разложить на множители квадратный трёхчлен $x^2 - 6x - 7$, используется формула $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — это корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

Сначала решим уравнение $x^2 - 6x - 7 = 0$. Коэффициенты данного уравнения: $a=1, b=-6, c=-7$.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 8}{2} = \frac{14}{2} = 7$.

$x_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 8}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.

Теперь подставим найденные корни $x_1=7$, $x_2=-1$ и коэффициент $a=1$ в формулу разложения на множители:

$x^2 - 6x - 7 = 1 \cdot (x - 7)(x - (-1)) = (x - 7)(x + 1)$.

Ответ: $(x - 7)(x + 1)$.

2) Чтобы разложить на множители трёхчлен $2x^2 - 5x + 3$, также воспользуемся формулой $a(x - x_1)(x - x_2)$.

Сначала решим уравнение $2x^2 - 5x + 3 = 0$. Коэффициенты: $a=2, b=-5, c=3$.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их:

$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.

$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$.

Теперь подставим найденные корни $x_1=\frac{3}{2}$, $x_2=1$ и коэффициент $a=2$ в формулу разложения:

$2x^2 - 5x + 3 = 2(x - \frac{3}{2})(x - 1)$.

Для более удобного вида внесём множитель 2 в первую скобку, чтобы избавиться от дроби:

$2(x - \frac{3}{2}) = 2 \cdot x - 2 \cdot \frac{3}{2} = 2x - 3$.

В итоге получаем следующее разложение:

$2x^2 - 5x + 3 = (2x - 3)(x - 1)$.

Ответ: $(2x - 3)(x - 1)$.