Номер 536, страница 217 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 31. Уравнения, сводящиеся к квадратным. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 536, страница 217.

Условие.

536. 1) $x^4 - 3x^2 - 4 = 0;$

2) $x^4 + 3x^2 - 4 = 0;$

3) $x^4 + x^2 - 20 = 0;$

4) $x^4 - 4x^2 - 5 = 0.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Дано биквадратное уравнение $x^4 - 3x^2 - 4 = 0$. Это уравнение можно решить путем введения новой переменной.
Пусть $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $t \ge 0$.
Подставив $t$ в исходное уравнение, получим квадратное уравнение:
$t^2 - 3t - 4 = 0$.
Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$.
Найдем корни для $t$:
$t_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 5}{2} = 4$.
$t_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 5}{2} = -1$.
Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому мы его отбрасываем.
Теперь вернемся к исходной переменной $x$ для $t_1 = 4$:
$x^2 = 4$.
Отсюда получаем два корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.
Ответ: $-2; 2$.

2) Дано биквадратное уравнение $x^4 + 3x^2 - 4 = 0$.
Сделаем замену переменной: $t = x^2$, при этом $t \ge 0$.
Уравнение преобразуется в квадратное:
$t^2 + 3t - 4 = 0$.
Решим его. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно $-4$, а сумма $-3$. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -4$.
Либо через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$.
Корни для $t$:
$t_1 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 5}{2} = 1$.
$t_2 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 5}{2} = -4$.
Корень $t_2 = -4$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$.
Выполним обратную замену для $t_1 = 1$:
$x^2 = 1$.
Отсюда $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.
Ответ: $-1; 1$.

3) Дано биквадратное уравнение $x^4 + x^2 - 20 = 0$.
Введем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$.
Получим квадратное уравнение: $t^2 + t - 20 = 0$.
Найдем его корни через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81$.
Корни для $t$:
$t_1 = \frac{-1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 9}{2} = 4$.
$t_2 = \frac{-1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 9}{2} = -5$.
Корень $t_2 = -5$ не является решением, так как $t \ge 0$.
Вернемся к переменной $x$ для $t_1 = 4$:
$x^2 = 4$.
Находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.
Ответ: $-2; 2$.

4) Дано биквадратное уравнение $x^4 - 4x^2 - 5 = 0$.
Выполним замену $t = x^2$, где $t \ge 0$.
Получим уравнение: $t^2 - 4t - 5 = 0$.
Найдем его корни. По теореме Виета: произведение корней равно $-5$, а сумма $4$. Корни: $t_1=5$ и $t_2=-1$.
Либо через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$.
Корни для $t$:
$t_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 6}{2} = 5$.
$t_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 6}{2} = -1$.
Корень $t_2 = -1$ не подходит, так как $t \ge 0$.
Сделаем обратную замену для $t_1 = 5$:
$x^2 = 5$.
Отсюда получаем два иррациональных корня: $x_1 = \sqrt{5}$ и $x_2 = -\sqrt{5}$.
Ответ: $-\sqrt{5}; \sqrt{5}$.