Номер 4, страница 216 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Вводные упражнения. Параграф 31. Уравнения, сводящиеся к квадратным. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 4, страница 216.

Условие.

4. Подбором найти корни уравнения:

1) $x^2 - 5x + 4 = 0;$

2) $x^2 - x - 2 = 0;$

3) $x^2 + 9x + 18 = 0;$

4) $x^2 - 7x + 12 = 0.$

Решение 4.

1) Для решения уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$ воспользуемся методом подбора, основанным на теореме Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ сумма корней $x_1 + x_2 = -p$, а произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q$.
В данном уравнении коэффициенты равны $p = -5$ и $q = 4$.
Следовательно, мы ищем два числа $x_1$ и $x_2$, для которых выполняются два условия:
$x_1 + x_2 = -(-5) = 5$
$x_1 \cdot x_2 = 4$
Подберем целые числа, произведение которых равно 4. Это пары (1, 4), (-1, -4), (2, 2), (-2, -2).
Проверим сумму для каждой пары:
$1 + 4 = 5$. Эта пара удовлетворяет второму условию.
$-1 + (-4) = -5$. Не подходит.
$2 + 2 = 4$. Не подходит.
Таким образом, корнями уравнения являются числа 1 и 4.
Ответ: $x_1 = 1, x_2 = 4$.

2) Для уравнения $x^2 - x - 2 = 0$ применим теорему Виета.
Коэффициенты: $p = -1$, $q = -2$.
Система для корней $x_1$ и $x_2$:
$x_1 + x_2 = -(-1) = 1$
$x_1 \cdot x_2 = -2$
Ищем два числа, произведение которых равно -2, а сумма равна 1.
Рассмотрим пары целых чисел, произведение которых равно -2: (1, -2) и (-1, 2).
Проверим их сумму:
$1 + (-2) = -1$. Не подходит.
$-1 + 2 = 1$. Эта пара удовлетворяет второму условию.
Следовательно, корни уравнения: -1 и 2.
Ответ: $x_1 = -1, x_2 = 2$.

3) Рассмотрим уравнение $x^2 + 9x + 18 = 0$.
Используем теорему Виета. Коэффициенты: $p = 9$, $q = 18$.
Система для корней $x_1$ и $x_2$:
$x_1 + x_2 = -9$
$x_1 \cdot x_2 = 18$
Ищем два числа, произведение которых равно 18, а сумма равна -9. Так как произведение положительное, а сумма отрицательная, оба корня должны быть отрицательными.
Рассмотрим пары отрицательных целых чисел, произведение которых равно 18: (-1, -18), (-2, -9), (-3, -6).
Проверим их сумму:
$-1 + (-18) = -19$. Не подходит.
$-2 + (-9) = -11$. Не подходит.
$-3 + (-6) = -9$. Эта пара удовлетворяет второму условию.
Таким образом, корни уравнения: -3 и -6.
Ответ: $x_1 = -3, x_2 = -6$.

4) Решим уравнение $x^2 - 7x + 12 = 0$ методом подбора с помощью теоремы Виета.
Коэффициенты: $p = -7$, $q = 12$.
Система для корней $x_1$ и $x_2$:
$x_1 + x_2 = -(-7) = 7$
$x_1 \cdot x_2 = 12$
Ищем два числа, произведение которых равно 12, а сумма равна 7. Так как и произведение, и сумма положительные, оба корня должны быть положительными.
Рассмотрим пары положительных целых чисел, произведение которых равно 12: (1, 12), (2, 6), (3, 4).
Проверим их сумму:
$1 + 12 = 13$. Не подходит.
$2 + 6 = 8$. Не подходит.
$3 + 4 = 7$. Эта пара удовлетворяет второму условию.
Следовательно, корни уравнения: 3 и 4.
Ответ: $x_1 = 3, x_2 = 4$.