Номер 5, страница 216 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 31. Уравнения, сводящиеся к квадратным. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 5, страница 216.

Условие.

5. Почему при решении уравнения, содержащего неизвестное в знаменателе дроби, необходима проверка?

Решение 4.

При решении уравнений, содержащих неизвестное в знаменателе дроби, проверка необходима из-за возможности появления посторонних корней. Это связано с областью допустимых значений (ОДЗ) переменной и преобразованиями, которые выполняются в процессе решения.

Рассмотрим это подробнее:

1. Область допустимых значений (ОДЗ)

Основное правило для любой дроби заключается в том, что ее знаменатель не может быть равен нулю, так как деление на ноль является неопределенной математической операцией. Когда в знаменателе дроби находится выражение с переменной, например, в уравнении вида $\frac{A(x)}{B(x)} = C(x)$, мы должны учитывать ограничение: $B(x) \neq 0$.

Множество всех значений переменной $x$, при которых все выражения в уравнении имеют смысл, называется областью допустимых значений (ОДЗ). Для дробно-рациональных уравнений это в первую очередь означает, что все знаменатели должны быть отличны от нуля.

2. Появление посторонних корней

Стандартный метод решения таких уравнений — избавление от знаменателя. Обычно это достигается путем умножения обеих частей уравнения на общий знаменатель. Однако это преобразование не всегда является равносильным. Умножая уравнение на выражение, содержащее переменную, мы можем расширить ОДЗ исходного уравнения.

В результате мы получаем новое уравнение (чаще всего целое), корнями которого могут быть не только корни исходного уравнения, но и те значения переменной, которые обращали знаменатель в ноль. Такие корни называются посторонними, и они не являются решением исходного уравнения.

Пример:

Рассмотрим уравнение:$\frac{x^2 - 4}{x - 2} = 0$

Шаг 1. Найдем ОДЗ.Знаменатель не должен быть равен нулю:$x - 2 \neq 0$$x \neq 2$

Шаг 2. Решим уравнение.Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Приравняем числитель к нулю:$x^2 - 4 = 0$$(x - 2)(x + 2) = 0$Мы получили два потенциальных корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Шаг 3. Проверка.Теперь необходимо проверить, входят ли найденные корни в ОДЗ.

• Корень $x_2 = -2$ удовлетворяет условию $x \neq 2$, следовательно, он является решением исходного уравнения.
• Корень $x_1 = 2$ не удовлетворяет условию $x \neq 2$. При подстановке этого значения в исходное уравнение знаменатель обращается в ноль: $\frac{2^2 - 4}{2 - 2} = \frac{0}{0}$. Это выражение не имеет смысла. Следовательно, $x = 2$ — это посторонний корень.

Таким образом, проверка (либо путем сравнения с ОДЗ, либо прямой подстановкой в исходное уравнение) является обязательным этапом решения, чтобы отсеять посторонние корни, которые могли появиться в результате неравносильных преобразований.

Ответ: Проверка необходима для того, чтобы исключить так называемые "посторонние корни". Эти корни могут появиться в процессе решения при выполнении неравносильных преобразований (например, при умножении уравнения на знаменатель, содержащий неизвестное). Посторонние корни являются решениями преобразованного уравнения, но при подстановке в исходное уравнение они обращают знаменатель в ноль, что недопустимо.